Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности f(x)=10е^-10x (x≥0).

Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения F(x)=1- е^-0,4x (x≥0).

Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x)=0 при x<0, f(x)=Cе^-λx при x≥0; однако он забыл, чему равна постоянная C. Требуется найти С.

Найти теоретический центральный момент третьего порядка μ₃=M[Х-М(Х)]³ показательного распределения.

Найти асимметрию A_S= μ₃/σ³(X) показательного распределения.

Найти теоретический центральный момент четвертого порядка μ₄=M[Х-M(Х)]⁴ показательного распределения.

Найти эксцесс показательного распределения:

На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Т - времени ожидания очередной машины контролером, - если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t)=5е^-5t.

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t)=1-е^{-0,01t (t>0)}. Найти вероятность того, что за время длительностью t=50ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t)=1-е^-0,03t (t>0). Найти вероятность того, что за время длительностью t=100ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F₁(t)=1-е^-0,02t, второго F₂(t)=1-е^-0,05t. Найти вероятность того, что за время длительностью t=6ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента F₁(t)=1-е^-0,1t; для второго F₂(t)=1-е^-0,2t, для третьего элемента F₃(t)=1-е^-0,3t. Найти вероятности того, что в интервале времени (0,5)ч откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента f₁(t)=0,1е^-0,1t, для второго f₂(t)=0,2е^-0,2t, для третьего элемента f₃(t)=0,1е^-0,3t. Найти вероятности того, что в интервале времени (0,10)ч откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

 

X	1	3	6	8
p	0,2	0,1	0,4	0,3

 

Построить многоугольник распределения.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а)

X	-4	6	10
p	0,2	0,3	0,5

б)

X	0,21	0,54	0,61
p	0,1	0,5	0,4

 

Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: a) Z=X+2Y, М(X)=5, M(Y)=3; б) Z=3X+4Y, М(X)=2, M(Y)=6.

Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) М(X-Y)=M(X)-M(Y); б) математическое ожидание отклонения X-М(Х) равно нулю.

Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что М(Х)=8.

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=-1, х₂=0, x₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=0,1, M(X²)=0,9. Найти вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным значениям x₁, x₂, x₃.

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=1, х₂=2, x₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=2,3, M(X²)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, - если проверке подлежит 50 партий.

Доказать: 1) M(Y)=aM(X)+b, если Y=aX+b; 2) M(Y)=Σa_iM(X_i)+b, если Y=Σ(a_iX_i)+b.

События А₁, А₂, ..., А_n несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p₁, p₂ , ..., p_n. Если в итоге испытания появляется событие A_i (i = 1, 2, ..., n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение x_i, равное вероятности p_i появления события А_i. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.

Доказать, что если случайные величины X₁, X₂,..., Х_n независимы, положительны и одинаково распределены, то

Доказать, что если случайные величины X₁, X₂, Х₃, X₄, Х₅ независимы, положительны и одинаково распределены, то

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	...	k	...
p				...		...

Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(Х)=5, D(Y)=6.

Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(Х)=4, D(Y)=5.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2