Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №199, стр.066

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, - если проверке подлежит 50 партий.

Доказать: 1) M(Y)=aM(X)+b, если Y=aX+b; 2) M(Y)=Σa_iM(X_i)+b, если Y=Σ(a_iX_i)+b.

События А₁, А₂, ..., А_n несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p₁, p₂ , ..., p_n. Если в итоге испытания появляется событие A_i (i = 1, 2, ..., n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение x_i, равное вероятности p_i появления события А_i. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.

Доказать, что если случайные величины X₁, X₂,..., Х_n независимы, положительны и одинаково распределены, то

Доказать, что если случайные величины X₁, X₂, Х₃, X₄, Х₅ независимы, положительны и одинаково распределены, то

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	...	k	...
p				...		...

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=1, х₂=2, x₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=2,3, M(X²)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=-1, х₂=0, x₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=0,1, M(X²)=0,9. Найти вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным значениям x₁, x₂, x₃.

Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что М(Х)=8.