Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ=0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие A появилось 15 раз.

Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

варианта xi	12	14	16	18	20	22
частота ni	5	15	50	16	10	4

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

варианта xi	2	3	7	9	11	12,5	16	18	23	25	26
частота ni	3	5	10	6	10	4	12	13	8	20	9

Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

xi	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
ni	2	4	6	8	12	30	18	8	7	5

Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi	12	14	16	18	20	22
ni	5	15	50	16	10	4

Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
ni	2	4	6	8	12	30	18	8	7	5

Выборка задана в виде распределения частот:

xi	4	7	8	12
ni	5	2	3	10

Найти распределение относительных частот.

Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: а)

xi	2	5	7	8
ni	1	3	2	4

б)

xi	4	7	8
ni	5	2	3

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

xi	1	3	6	26
ni	8	40	10	2

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:

xi	2560	2600	2620	2670	2700
ni	2	3	10	4	1

По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_В=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:

xi	340	360	375	380
ni	20	50	18	12

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:

xi	2502	2804	2903	3028
ni	8	30	60	2

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

xi	0,1	0,5	0,6	0,8
ni	5	15	20	10

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

xi	18,4	18,9	19,3	19,6
ni	5	10	20	15

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=100:

xi	1250	1270	1280	1300
ni	20	25	50	5

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=20:

xi	0,1	0,5	0,7	0,9
ni	6	12	1	1

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

xi	23,5	26,1	28,2	30,4
ni	2	3	4	1

Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество x_i сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n_i - число проб, содержащих x_i семян сорняков):

xi	0	1	2	3	4	5	6
ni	405	366	175	40	8	4	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота n_i - число партий, содержащих x_i , нестандартных изделий):

xi	0	1	2	3	4
ni	132	43	20	3	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ, распределения Пуассона.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂, ...., x_n точечную оценку параметра p биномиального распределения:

 

где x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Случайная величина X (число появлений события A в n независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число x_i появлений события A в одном опыте; во второй строке указана частота n_i - количество опытов, в которых наблюдалось X; появлений события A):

xi	0	1	2	3	4
ni	5	2	1	1	1

Найти методом моментов точечную оценку параметра p биномиального распределения.

Найти методом моментов по выборке х₁, х₂,..., x_n точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

f(x)=λe^-λx (x≥0).

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe^-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время x_i - работы элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

xi	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
ni	133	45	15	4	2	1

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Найти методом моментов точечную оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=х_i)=(1—p)^x_i-1∙p,

где x_i - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом моментов оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=х_i)=(1—p)^x_i-1∙p,

если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β, которыми определяется гамма-распределение.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

f(x)=(1/(σ∙√2π))∙e^{-(x-a)^2/(2σ^2)}.

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение x_i (мм); во второй строке приведена частота n_i - количество изделий, имеющих отклонение x_i):

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.