Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №476, стр.165

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe^-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время x_i - работы элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Найти методом моментов точечную оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

где x_i - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом моментов оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β, которыми определяется гамма-распределение.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение x_i (мм); во второй строке приведена частота n_i - количество изделий, имеющих отклонение x_i):

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

Случайная величина X (число появлений события A в n независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число x_i появлений события A в одном опыте; во второй строке указана частота n_i - количество опытов, в которых наблюдалось X; появлений события A):

Найти методом моментов точечную оценку параметра p биномиального распределения.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂, ...., x_n точечную оценку параметра p биномиального распределения:

 

где x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота n_i - число партий, содержащих x_i , нестандартных изделий):

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ, распределения Пуассона.

Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество x_i сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n_i - число проб, содержащих x_i семян сорняков):

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=20:

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=100: