Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

f(x)=1/(b-a), (b>a).

Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами a и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка x_i; во второй строке указана частота n_i - количество измерений, имеющих среднюю ошибку x_i):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения.

Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:

P(X=x_i)=1/2∙( λ₁^x_i∙e^-λ₁)/(x_i!)+ 1/2∙( λ₂^x_i∙e^-λ₂)/(x_i!).

Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n=327 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события; во второй строке приведена частота n_i - количество испытаний, в которых появилось x_i событий):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров λ₁ и λ₂ «двойного распределения» Пуассона.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события A в 1000 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события в одном опыте из m=10 испытаний, во второй строке приведена частота n_i - число опытов, в которых наблюдалось x_i появлений события A):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра p биномиального распределения.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром λ:

P_m(X=x_i)=λ^x_i ∙e^-λ/x_i!,

где m – количество испытаний в одном опыте, x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n). Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром λ. Ниже приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество x_i поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота n_i - число контейнеров, содержащих x_i поврежденных изделий):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f(x)= λe^-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время x_i безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра β гамма-распределения (параметр α известен), плотность которого

f(x)=1/( β^α+1∙Г(α+1) )∙x^α∙e^-x/β ((α>-1, β>0,x≥0).

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра β гамма-распределения, если второй параметр этого распределения α=1,12.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра p геометрического распределения:

P(X=x_i)=(1-p)^x_i-1∙p,

где x_i - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра a (параметр σ известен) распределения Кептейна, плотность которого

f(x)=[g'(x)/(σ√2π)]∙e^{-[g(x)-a]^2/(2σ^2)},

где g(x) – дифференцируемая функция.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра σ (параметр a известен) распределения Кептейна, плотность которого

f(x)=[g'(x)/(σ√2π)]∙e^{-[g(x)-a]^2/(2σ^2)},

где g(x) – дифференцируемая функция.

Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

а)

б)

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

f(x)=1/(σ√2π)∙e^{-(x-a)^2/(2σ^2)}.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известно генеральное среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки: а) σ=4, выборочная средняя равна 10,2, n=16; б) σ=5, выборочная средняя равна 16,8, n=25.

Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений σ=40м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния a до цели с надежностью γ=0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений 2000м.

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности a горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ=40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ=2мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ=1,5.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.

По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ=0,999.

По данным выборки объема n из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999, если: а) n=10, s=5,1; б) n=50, s=14.

Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие A появилось 60 раз.

Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность p появления события A постоянна. Событие A появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность p с надежностью 0,95.

В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие A появилось 270 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность p с надежностью 0,95.

Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность p изготовления станком нестандартной детали.

При испытаниях 1000 элементов зарегистрировано 100 отказов. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность p отказа элемента с надежностью: а) 0,95; б) 0,99.

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:

а)

б)

При вычислении дисперсии распределения неравноотстоящих вариант выборка была разбита на пять интервалов длины h=12. Выборочная дисперсия равноотстоящих вариант (середин частичных интервалов) DВ=52,4. Найти выборочную дисперсию, учитывая поправку Шеппарда.

а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объема n=50:

б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.

а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объема n=100:

б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.

Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

а)

б)

в)

г)

Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

а)

б)

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=11 и n₂=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,76 и s_Y²=0,38. При уровне значимости α=0,05, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y).