Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №486, стр.168

Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:

Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n=327 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события; во второй строке приведена частота n_i - количество испытаний, в которых появилось x_i событий):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров λ₁ и λ₂ «двойного распределения» Пуассона.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события A в 1000 испытаниях (в первой строке указано число x_i появлений события в одном опыте из m=10 испытаний, во второй строке приведена частота n_i - число опытов, в которых наблюдалось x_i появлений события A):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра p биномиального распределения.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром λ:

где m – количество испытаний в одном опыте, x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n). Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром λ. Ниже приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество x_i поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота n_i - число контейнеров, содержащих x_i поврежденных изделий):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f(x)= λe^-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время x_i безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра β гамма-распределения (параметр α известен), плотность которого

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра β гамма-распределения, если второй параметр этого распределения α=1,12.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение x_i (мм); во второй строке приведена частота n_i - количество изделий, имеющих отклонение x_i):

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β, которыми определяется гамма-распределение.

Найти методом моментов оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Найти методом моментов точечную оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

где x_i - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe^-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время x_i - работы элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.