Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний

Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	0,3	0,6
p	0,2	0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х — M(Х)|<0,2.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	0,1	0,4	0,6
p	0,2	0,3	0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

	a	-a
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

	n+1	-n
p

а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсий не выполняется; б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима?

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂,..., Х_n,... задана законом распределения:

		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длительностью t

$P_t(k)=\frac{(\lambda t)^k\cdot e^{-\lambda t}}{k!}$

можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.

Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Задана интенсивность простейшего потока λ=5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины Т -времени между появлениями двух последовательных событий потока.

Выборка задана в виде распределения частот:

xi	2	5	7
ni	1	3	6

Найти распределение относительных частот.

Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

xi	1	4	6
ni	10	15	25

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

Варианта xi	2	5	7	10
Частота ni	16	12	8	14

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=10:

xi	1250	1270	1280
ni	2	5	3

По выборке объема n=41 найдена смещенная оценка D_В=3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=10:

xi	186	192	194
ni	2	5	3

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=10:

xi	0,01	0,04	0,08
ni	5	3	2

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

xi	102	104	108
ni	2	3	5

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

xi	0,01	0,05	0,09
ni	2	3	5

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров α и β гамма-распределения, плотность которого

$f(x)=\frac{1}{\beta^{\alpha + 1}\cdot\varGamma(\alpha + 1)}\cdot x^{\alpha}\cdot e^{-x/\beta}\ (\alpha>1,\ \beta>0,\ x\ge 0)$.

Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами α и β (α>-1, β>0):

Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным n=45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды x_i (см); во второй строке приведена частота n_i - количество паводков со средним уровнем воды x_i):

xi	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	162,5	187,5	250	350
ni	1	3	6	7	7	5	4	8	4

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β рассматриваемого гамма-распределения.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров λ₁ и λ₂ «двойного распределения» Пуассона: где x_i - число появлений события в n_i испытаниях, λ₁ и λ₂ - положительные числа, причем λ₂ > λ₁.

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку параметра p (вероятность появления события в одном опыте) биномиального распределения:

,

где x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте, n – число опытов.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя равна 14 и объем выборки n=25.

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ=0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ=1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

варианта xi	-2	1	2	3	4	5
частота ni	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.