Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №508, стр.177

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ=0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие A появилось 15 раз.

Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ=0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ=1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя равна 14 и объем выборки n=25.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x₁, x₂,…, x_n точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку параметра p (вероятность появления события в одном опыте) биномиального распределения:

,

где x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте, n – число опытов.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров λ₁ и λ₂ «двойного распределения» Пуассона: где x_i - число появлений события в n_i испытаниях, λ₁ и λ₂ - положительные числа, причем λ₂ > λ₁.

Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами α и β (α>-1, β>0):

Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным n=45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды x_i (см); во второй строке приведена частота n_i - количество паводков со средним уровнем воды x_i):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β рассматриваемого гамма-распределения.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,…, x_n точечные оценки неизвестных параметров α и β гамма-распределения, плотность которого