Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а)

X	4,3	5,1	10,6
p	0,2	0,3	0,5

б)

X	131	140	160	180
p	0,05	0,1	0,25	0,6

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x₁ и x₂, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату полуразности возможных значений:

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(X)=1,2.

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(X)=0,9.

Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и х₂, причем х₂>х₁. Вероятность того, что X примет значение x₁ равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4; D(X)=0,24.

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и х₂, причем х₁<х₂. Вероятность того, что X примет значение х₁ равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М(X)=2,6 и среднеквадратическое отклонение σ(Х)=0,8.

Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: x₁=1, х₂ и х₃, причем х₁<х₂<х₃. Вероятность того, что X примет значение х₁ и х₂ соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М(X)=2,2 и дисперсию D(Х)=0,76.

Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Вероятность наступления события в каждом испытании равна p (0<p<1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа испытаний, которые надо произвести до появления события; б) дисперсию величины X.

Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа опытов, которые надо произвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1.

Доказать неравенство , где х_i и x_k - любые два возможных значения случайной величины X.

Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные а и b, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями: .

Доказать, что если X и Y—независимые случайные величины, то D(XY)=D(X)∙D(Y)+n²D(X)+m²D(Y), где m=M(X), n=M(Y).

Найти дисперсию дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	...	k	...
p				...		...

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3
p	0,4	0,6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	2	3	5
p	0,1	0,4	0,5

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	2	4
p	0,1	0,3	0,6

Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	3	5
p	0,2	0,8

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством: .

Доказать, что центральный момент четвертого порядка связан с начальными моментами равенством: .

Пусть X=X₁+X₂, где X₁ и Х₂ — независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные μ₃¹ и μ₃². Доказать, что μ₃= μ₃¹+ μ₃² - центральный момент третьего порядка величины X.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	2	4	7
p	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	3	4	7	10
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0,1/3).

Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0,1).

Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (-1,1).

Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого устройства) равна 

.

Найти вероятность безотказной работы устройства за время х≥Т.

Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения:

Найти возможное значение x₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 0,25 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x₁.

Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения:

Найти возможное значение x₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x₁.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Найти плотность распределения f(x).