Двумерные случайные величины и их характеристики. Функции. Задачи с решениями

Используя данные примера 5.10 найти: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y; б) коррелированные или некоррелированные эти случайные величины.

Используя данные примера 5.11 найти: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y; б) коррелированные или некоррелированные эти случайные величины.

Используя данные примера 5.12 найти: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y; б) коррелированные или некоррелированные эти случайные величины.

Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности . Найти плотность вероятности случайной величины Y=X² и ее математическое ожидание.

Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N(0;1).

Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то X=1, в противном случае Х=0; Y=1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти: а) законы распределения двумерной случайной величины (X,Y) и ее одномерных составляющих; б) условные законы распределения X и Y.

Двумерная случайная величина (Х,Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где О(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Поверхность распределения двумерной случайной величины (X,Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (Х,Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ(x,y), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ₁(x), φ₂(y), условных плотностей φ_x(y), φ_y(x) . Выяснить, являются ли случайные величины X и Y: зависимыми; коррелированными.

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена по закону

Найти: а) коэффициент А; б) вероятность попадания случайной величины (X,Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2. Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ₁(x), φ₂(y).

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена по закону

^{* в остальных случаях}

Найти: а) постоянную С; б) плотности вероятности одномерных составляющих; в) их условные плотности; г) числовые характеристики а_x, а_y, D(X), D(Y), ρ.

Найти совместную плотность двумерной случайной величины (Х,Y) и вероятность ее попадания в область D - прямоугольник, ограниченный прямыми х=1, х=2, у=3, у=5, если известна ее функция распределения:

Задана совместная плотность двумерной случайной величины (Х,Y):

Найти функцию распределения F(x,y).

Имеются независимые случайные величины X, Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=0, σ_x²=1/2. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами a_x=2, а_y=-3, σ_x²=1, σ_y²=4. Найти вероятности событий:

а) (Х<а_x)(Y<a_y); б) Y<X-5; в) (|X|<1)(|Y|<2)

Задана плотность вероятности φ(х) случайной величины X, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если: а); б); в); г); д).

Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-π/2;π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y=SinX.

Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности:

Найти закон распределения случайной величины

Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности:

Найти плотность вероятности обратной величины Y=1/Х.

Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:

xi	-1	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=2^X.

Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y=2-3Х. Числовые характеристики случайной величины X заданы а_x=-1; D(X)=4. Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y; б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и Y.

Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(х)=CosX в интервале (0,π/2); вне этого интервала φ(х)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=X².

Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=1/Х.

Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности:

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ=2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=e^-x.

Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=0, σ_x²=5. Найти математическое ожидание случайной величины Y=1-3X²+4X³.

Имеются независимые случайные величины X, Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=1, σ_x²=4. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;2). Найти: а) M(X-Y); б) D(X-Y); в) М(Х²); г) М(Y²).

Случайная величина Y распределена равномерно в интервале (0;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти дисперсию случайной величины Y².

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан таблицей:

Найти условные законы распределения случайной величины X при условии, что Y=1 случайной величины Y при условии, что Х=0.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан таблицей:

Найти условные законы распределения случайной величины X при условии, что Y=0 случайной величины Y при условии, что Х=1.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан таблицей:

Найти условные законы распределения случайной величины X при условии, что Y=1 случайной величины Y при условии, что Х=1.

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольнике ABC. Определить маргинальные плотности распределения f₁(x) и f₂(y), математические ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y), коэффициент корреляции r_xy. Являются ли случайные величины независимыми? Вершины треугольника: A(0,0), B(-2;2), С(2;2).

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан таблицей:

Найти условные законы распределения случайной величины X при условии, что Y=3 случайной величины Y при условии, что Х=1.

  Известно распределение системы двух дискретных случайных величин (ξ, η):

 

η\ξ	1	2	3	4
0	0,16	0,12	0,14	0,08
1	0,08	0,10	0,09	0,08
3	0,06	0,04	0,03	0,02

Определить частные, условные (при ξ=1 и η=0) распределения и числовые характеристики системы случайной величины mξ, Dξ, mη, Dη, Kξη, rξη, а так же найти вероятность попадания двумерной случайной величины (ξ, η) в область

 

  Известно распределение системы двух дискретных случайных величин (ξ, η):

 

η\ξ	0	2	4	6
0	0,15	0,10	0,10	0,05
4	0,05	0,10	0,05	0,10
8	0,1	0,05	0,10	0,05

Определить частные, условные (при ξ=2 и η=0) распределения и числовые характеристики системы случайной величины mξ, Dξ, mη, Dη, Kξη, rξη, а так же найти вероятность попадания двумерной случайной величины (ξ, η) в область

  Известно распределение системы двух дискретных случайных величин (ξ, η):

η\ξ	-1	0	1	2
0	0,05	0,10	0,10	0,05
3	0,05	0,05	0,10	0,10
6	0,1	0,05	0,10	0,15

Определить частные, условные (при ξ=-1 и η=0) распределения и числовые характеристики системы случайной величины mξ, Dξ, mη, Dη, Kξη, rξη, а так же найти вероятность попадания двумерной случайной величины (ξ, η) в область