Двумерные случайные величины и их характеристики. Функции. Задачи с решениями

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3	5
p	0,4	0,1	0,5

Найти закон распределения случайной величины Y=3X.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	-1	-2	1	2
p	0,3	0,1	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины Y=X².

Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (а,b). Найти плотность распределения случайной величины Y=3Х.

В прямоугольной системе координат xOy из точки A(4;0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Oy.

Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0,2π). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=CosX.

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным а, и среднеквадратическим отклонением, равным σ. Доказать, что линейная функция Y=АХ+В также распределена нормально, причем M(Y)=Аa+B, σ(Y) =|A|σ.

Задана плотность

нормально распределенной случайной величины X. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=X².

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)Sinx в интервале (0,π); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=φ(x)=X², определив предварительно плотность распределения g(y) величины Y.

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)Sinx в интервале (0,π); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y=φ(x)=X², используя плотность распределения g(y).

Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=ЗХ+2.

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

X	1	3
p	0,3	0,7

 

X	2	4
p	0,6	0,4

Найти распределение случайной величины Z=X+Y.

 

Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z=X+Y.

Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y: f₁(x)= 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f₁(x)=0; f₂(y)=1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f₂(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y	X
	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25
5	0,10	0,30	0,05

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x= π/4, y=π/6, y=π/3.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы.

В круге x²+y²≤R² двумерная плотность вероятности:

вне круга f(x,y)=0. Найти: а) постоянную C; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиуса r=1 с центром в начале координат, если R=2.

Задана двумерная плотность вероятности:

системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C.

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Y	X
	x1=2	x2=5	x3=8
y1=0,4	0,15	0,30	0,35
y2=0,8	0,05	0,12	0,03

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y₁=0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что Х=x₂= 5.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.

Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X,Y) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая - только от y, то величины X и Y независимы.

Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y=aX+b, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.

Подбрасывают одновременно две игральные кости; случайная величина Х - сумма очков, в результате испытания; случайная величина Y - их произведение. Показать, что двумерная случайная величина (X,Y) есть функция элементарных исходов (событий) ω.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей:

xi yi	-1	0	1	2
1	0,1	0,25	0,3	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y=2 и случайной величины Y при условии X=1; в) вычислить P(Y<Х).

Случайная величина распределена равномерно в круге радиуса R=1 (рис.5.5). Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y), б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y, в) вероятность того, что расстояние от точки (X,Y) до начала координат будет меньше 1/3.

По данным примера 5.3 определить: а) условные плотности случайных величин Х и Y; б) зависимы или независимы случайные величины X и Y; в) условные математические ожидания и условные дисперсии.

По данным примера 5.2 определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y.

По данным примера 5.3 определить: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y; б) коррелированны или не коррелированны эти случайные величины.

Найти плотность вероятности случайной величины Y=1–X³, где случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью вероятности .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=2-3Sinx если плотность вероятности случайной величины Х есть на отрезке .

Найти закон распределения суммы двух случайных величин, распределенных равномерно на отрезке [0;1].