Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика Задачи с решениями

Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности . Найти плотность вероятности случайной величины Y=X² и ее математическое ожидание.

Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N(0;1).

Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то X=1, в противном случае Х=0; Y=1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти: а) законы распределения двумерной случайной величины (X,Y) и ее одномерных составляющих; б) условные законы распределения X и Y.

Двумерная случайная величина (Х,Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где О(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Поверхность распределения двумерной случайной величины (X,Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (Х,Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ(x,y), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ₁(x), φ₂(y), условных плотностей φ_x(y), φ_y(x) . Выяснить, являются ли случайные величины X и Y: зависимыми; коррелированными.

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена по закону

Найти: а) коэффициент А; б) вероятность попадания случайной величины (X,Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2. Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ₁(x), φ₂(y).

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена по закону

^{* в остальных случаях}

Найти: а) постоянную С; б) плотности вероятности одномерных составляющих; в) их условные плотности; г) числовые характеристики а_x, а_y, D(X), D(Y), ρ.

Найти совместную плотность двумерной случайной величины (Х,Y) и вероятность ее попадания в область D - прямоугольник, ограниченный прямыми х=1, х=2, у=3, у=5, если известна ее функция распределения:

Задана совместная плотность двумерной случайной величины (Х,Y):

Найти функцию распределения F(x,y).

Имеются независимые случайные величины X, Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=0, σ_x²=1/2. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами a_x=2, а_y=-3, σ_x²=1, σ_y²=4. Найти вероятности событий:

а) (Х<а_x)(Y<a_y); б) Y<X-5; в) (|X|<1)(|Y|<2)

Задана плотность вероятности φ(х) случайной величины X, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если: а); б); в); г); д).

Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-π/2;π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y=SinX.

Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности:

Найти закон распределения случайной величины

Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности:

Найти плотность вероятности обратной величины Y=1/Х.

Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:

xi	-1	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=2^X.

Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y=2-3Х. Числовые характеристики случайной величины X заданы а_x=-1; D(X)=4. Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y; б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и Y.

Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(х)=CosX в интервале (0,π/2); вне этого интервала φ(х)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=X².

Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=1/Х.

Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности:

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ=2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=e^-x.

Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=0, σ_x²=5. Найти математическое ожидание случайной величины Y=1-3X²+4X³.

Имеются независимые случайные величины X, Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a_x=1, σ_x²=4. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;2). Найти: а) M(X-Y); б) D(X-Y); в) М(Х²); г) М(Y²).

Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 2 млн. рублей, а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. рублей, равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000л. в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000л., используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева.

Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Объяснить различие полученных результатов.

Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине) - (правило трех сигм).

По данным примера 2.8 с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5ч. (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7ч.

Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной личине), если среднее квадратическое отклонение каждого измерений не превосходит 5?

Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

Среднее изменение курса акции компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на 3%.

Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.

Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.