Основные законы распределения Задачи с решениями

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X - числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число k₀ заданных студенту дополнительных вопросов.

Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым - 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин X и Y - числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.

Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производятся бесчисленное количество раз.

Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету p=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?

Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а,b).

Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a,b).

Диаметр круга x измерен приближенно, причем a≤x≤b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а,b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X - в интервале (a,b), Y - в интервале (с,d). Найти дисперсию произведения XY.

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно а=3 и среднеквадратическое отклонение σ=2. Написать плотность вероятности X.

Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(Х)=3, D(X)=16.

Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью:

Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.

Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=0,4мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=5мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x)=3е^-3x при x≥0; при x<0 f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13;0,7).

Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при x≥0: а) плотностью f(x)=5е-^5x; б) функцией распределения F(x)=1-е^-0,1x.

Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности f(x)=10е^-10x (x≥0).

Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения F(x)=1- е^-0,4x (x≥0).

Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x)=0 при x<0, f(x)=Cе^-λx при x≥0; однако он забыл, чему равна постоянная C. Требуется найти С.

Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t)=1-е^{-0,01t (t>0)}. Найти вероятность того, что за время длительностью t=50ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F₁(t)=1-е^-0,02t, второго F₂(t)=1-е^-0,05t. Найти вероятность того, что за время длительностью t=6ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

В магазин поступила обувь с двух фабрик в отношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

По данным примера 4.1 найти математическое ожидание и дисперсию частости (доли) пар обуви, изготовленных первой фабрикой, среди 4 купленных.

Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами λ₁ и λ₂ также распределена по закону Пуассона с параметром λ=λ₁+λ₂.

Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон распределения случайной величины X - числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание дисперсию случайной величины X.

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X - времени ожидания поезда.

Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время τ, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т₁=Т-τ промежутка, т.е. закон распределения Т₁ остается таким же, как и всего промежутка Т.