Проверка статистических гипотез Задачи с решениями

Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой группе численностью n₁=50чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила 85 (изделий), во второй группе численностью n₂=70чел. выборочная средняя равна 78 (изделий). Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σ_x²=100 и σ_y²=74. На уровне значимости α=0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.

Произведены две выборки урожая пшеницы: при своевременной уборке урожая и уборке с некоторым опозданием. В первом случае при наблюдении 8 участков выборочная средняя урожайность составила 16,2 ц/га, а среднее квадратическое отклонение - 3,2 ц/га; во втором случае при наблюдении 9 участков те же характеристики равнялись соответственно 13,9 ц/га и 2,1 ц/га. На уровне значимости α=0,05 выяснить влияние своевременности уборки урожая на среднее значение урожайности.

Имеются следующие данные об урожайности пшеницы на 8 опытных участках одинакового размера (ц/га): 26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Есть основание предполагать, что значение урожайности третьего участка x*=35,9 зарегистрировано неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5%-ном уровне значимости?

Контрольную работу по высшей математике по индивидуальным вариантам выполняли студенты двух групп первого курса. В первой группе было предложено 105 задач, из которых верно решено 60, во второй группе из 140 предложенных задач верно решено 69. На уровне значимости 0,02 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в усвоении учебного материала студентами обеих групп.

По условию примера 10.4 на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что различия в усвоении учебного материала студентами четырех групп первого курса существенны. Дополнительные условия: для третьей группы m₃=63, n₃=125, для четвертой группы m₄=105, n₄=160.

На двух токарных станках обрабатываются втулки. Отобраны две пробы: из втулок, сделанных на первом станке, n₁=15шт., на втором станке n₂=18шт. По данным этих выборок рассчитаны выборочные дисперсии s₁²=8,5 (для первого станка) и s₂²=6,3 (для второго станка). Полагая, что размеры втулок подчиняются нормальному закону распределения, на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью.

По условию примера 10.6 на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью, если имеются 4 токарных станка и отобраны соответственно четыре пробы объемов: n₁=15; n₂=18; n₃=25; n₄=32. Выборочные дисперсии размеров втулок равны соответственно: s₁² =8,5; s₂² =6,3; s₃² =9,3; s₄² =5,8.

На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить a₀=120ден.ед. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность 135ден.ед., а среднее квадратическое отклонение задолженности s=20ден.ед. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли принять данный прогноз; б) найти мощность критерия, использованного в п.а); в) определить минимальное число предприятий, которое следует проверить, чтобы обеспечить мощность критерия 0,975.

По данным примера 9.10 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что средняя выработка рабочих всего цеха равна 121%.

По данным примера 9.11 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что доля нестандартных деталей во всей партии равна 12%.

По данным примера 9.17 на уровне значимости α=0,1 проверить гипотезу о том, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20м/ч.

Для эмпирического распределения рабочих цеха по выработке по данным первых двух граф таблицы подобрать соответствующее теоретическое распределение и на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о согласованности двух распределений с помощью критерия χ².

По данным примера 10.12 и таблице с помощью критерия Колмогорова на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H₀ о том, что случайная величина X - выработка рабочих предприятия - имеет нормальный закон распределения с параметрами a=119,2; σ²=87,48, т.е. N(119,2; 87,48).

В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице:

Можно ли считать, что на уровне значимости α=0,05 по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=11 и n₂=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,76 и s_Y²=0,38. При уровне значимости α=0,05, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=14 и n₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,84 и s_Y²=2,52. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины.

Получены следующие результаты:

а) в первом случае: x₁=9,6; x₂=10,0; x₃=9,8; x₄=10,2; x₅=10,6;

б) во втором случае: y₁=10,4; y₂=9,7; y₃=10,0; y₄=10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>15.

Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать σ₀²=0,1. Взята проба из 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующие результаты измерений:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной s_X²=0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?

По двум независимым выборкам, объемы которых n=40 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние соответственно равные 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80, D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁:M(X)≠M(Y).

По двум независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 31,2, 29,2 и исправленные дисперсии: s_X²=0,84 и s_Y²=0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁:M(Х)≠М(Y).