Основные теоремы Задачи с решениями


  • Теоремы сложения и умножения.
  • Формула полной вероятности.
  • Формула Байеса.

Есть 4 кубика. На трех из них окрашена белым половина граней, а на четвертом кубике всего одна грань из шести белая. Наудачу выбранный кубик подбрасывается семь раз. Найти вероятность того, что был выбран четвертый кубик, если при семи подбрасываниях белая грань выпала ровно один раз.

Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется две правильных игральных кости, а в другой – три. Счет в игре равен сумме выпавших на костях очков. Вы слышите, что выпало четыре очка. Какова вероятность, что играют в игру с двумя костями?

Красная Шапочка, заблудившись в лесу, вышла на полянку, от которой в разные стороны ведут три дороги. Вероятность встретить Серого Волка на первой дороге равна 0,6, на второй дороге равна 0,3, на третьей дороге равна 0,2. Какова вероятность того, что Красная Шапочка пошла по второй дороге, если известно, что через час уже была у бабушки?

В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

Характеристика материала, из которого изготовлена продукция, с вероятностями 0,09, 0,16, 0,25, 0,25, 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,4, 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.

В телевизионном ателье имеется 3 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8, 0,9, 0,85. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Устройство состоит из четырех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы в течение месяца соответственно равны: 0,6 для первого элемента, 0,8 для второго, 0,7 для третьего и 0,9 для четвертого. Найти вероятность того, что в течение месяца будут безотказно работать: а) все четыре элемента; б) только один элемент; в) не менее двух элементов.

В вычислительной лаборатории 40% микрокалькуляторов и 60% дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев работают безотказно. а) Найти вероятность того, что наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета; б) выбранная машина проработала безотказно по время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выбрали 4 первокурсников, 6 второкурсников, 5 учащихся третьего курса. Для студента 1 курса вероятность попасть в сборную института, равна 0,9, для студента 2 курса – 0,8, для студента 3 курса – 0,7. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попадет в сборную института. Какова вероятность того, что это был учащийся 2 курса?

В первой урне 11 белых и 9 черных шаров, во второй урне 6 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта – 9%, третьего сорта – 14%, четвертого сорта – 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта – 0,08, для пшеницы третьего сорта – 0,04, для четвертого сорта – 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

Орудие производит 3 независимых выстрела по цели. Вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равна 0,8. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,1, при двух попаданиях – с вероятностью 0,3 и при трех – с вероятностью 0,8. Определить вероятность поражения цели.

Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом 15 белых шаров. Во втором 20 белых и 8 черных. В третьем 10 черных и 2 белых. Из выбранного наугад ящика вытянули белый шар. Определить вероятность, что это был третий ящик.

Имеются две урны: в первой находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают два шара. После этого из второй урны берут три шара. Найти вероятность того, что эти шары будут одного цвета.

Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5; для второго – 0,6 и для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что в результате однократного выстрела всех стрелков по мишени в ней будет одна пробоина, ни одной, хотя бы одна.

С первого автомата поступает на сборку 80%, со второго – 20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, на втором – 3%. а) Найти вероятность того, что деталь стандартна. б) Проверенная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором автомате.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Делают по одному выстрелу. Первый попадает с вероятностью 0,6, второй с вероятностью 0,7. Определить вероятность - оба попали, одно попадание, нет попаданий.

Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0,8, для остальных – 0,4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

В упаковке находилось 15 изделий первого сорта и 5 изделий второго сорта, внешне неразличимых. При транспортировке два изделия были потеряны. После этого для проверки качества из упаковки было наудачу извлечено одно изделие. а) Найти вероятность того, что это изделие второго сорта; б) Оказалось, что проверенное изделие второго сорта. Найти вероятность того, что потерянные изделия были второсортными.

Три сестры: Даша, Маша и Наташа - моют посуду после ужина. Старшая, Маша, моет посуду в половине всех случаев, Даша и Наташа – в четверти каждая. Если посуду моет старшая, то вероятность того, что посуда будет разбита – 0,02. Если это делает Даша, то вероятность – 0,03. Для младшей эта вероятность равна 0,04. Раздался звон разбитой посуды. Найти вероятность того, что на кухне хозяйничала Наташа.

 Имеется три ящика, в первом из которых 6 стандартных и 3 бракованных детали, во втором — 5 стандартных и 4 бракованных и в третьем — 7 стандартных и 4 бракованных. Найти вероятность того, что если из каждого ящика выбрать по детали, то среди них будет одна стандартная и две бракованных.

 Орудие осуществляет стрельбу по цели, для поражения которой необходимо попасть в нее дважды. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,5; в дальнейшем она не меняется при промахах, но после первого попадания вероятность промаха при дальнейших выстрелах уменьшается вдвое. Боекомплект составляет 5 снарядов. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если первый выстрел был точным.

 В ящике содержится 6 деталей типа А, 5 — типа Б и 3 — типа В. Детали выбираются наугад, причем вынутая деталь типа А или Б откладывается в сторону, а извлеченная деталь типа В возвращается назад в ящик. Определить вероятность того, что если выбрать 2 детали, то они будут разных типов.

 Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

 Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится по два черных и два белых шара, а в одной — пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что он извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?

 В урне содержится 5 белых, 3 черных и 6 красных шаров. Шары выбираются наугад, причем белый или черный шар в урну не возвращается, а извлеченный из урны красный шар после проверки его цвета укладывается назад в урну. Найти вероятность того, что если выбрать два шара, среди них не будет белых.

 Имеется три ящика, в первом из которых 6 стандартных и 4 бракованных детали, во втором — 5 стандартных и 7 бракованных, а в третьем — 8 стандартных и 8 бракованных. Определить вероятность того, что если из каждого ящика выбрать по детали, то все они будут стандартными.

 Игрок A поочередно играет с игроками B и C по две партии. Вероятности выигрыша первой партии для B и C равны 0,1 и 0,2 соответственно, вероятность выиграть во второй партии для B равна 0,3, для C — 0,4. Определить вероятность того, что первым выиграет B.

 При измерении усилия для разрыва нити получается нормально распределенная случайная величина X; среднее усилие составляет 61,3 (н) при среднем квадратическом отклонении 0,5 (н). Найти интервал, симметрично расположенный относительно среднего значения, в который с вероятностью 0,95 попадет значение разрывного усилия при очередном измерении.

 Детали контролируются двумя контролерами. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,7, а ко второму — 0,3. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна — 0,93, а вторым — 0,98. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

 Имеется три урны, в первой из которых 3 белых и 6 черных шаров, во второй — 4 белых и 4 черных и в третьей — 7 белых и 3 черных. Определить вероятность того, что при выборе из каждой урны по одному шару все они будут белыми.

 Орудие осуществляет стрельбу по цели, для поражения которой необходимо попасть в нее дважды. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,2; в дальнейшем она не меняется при промахах, но после первого попадания вероятность промаха при дальнейших выстрелах уменьшается вдвое. Боекомплект составляет 8 снарядов. Найти вероятность того, что цель будет повреждена, но не поражена.

 Принимая вероятность рождения однополых близнецов вдвое большей, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковыми, а вероятность рождения в двойне первым мальчика равной 0,51, определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.

Back to top