Основные теоремы Задачи с решениями


  • Теоремы сложения и умножения.
  • Формула полной вероятности.
  • Формула Байеса.

Отдел технического контроля предприятия бракует каждую партию из 100 деталей, если из 5 деталей, наугад выбранных из партии, хотя бы одна окажется бракованной. Партия содержит 5% брака. Найти вероятность для одной партии деталей быть забракованной. (Решить задачу двумя способами: используя формулу умножения вероятностей и используя только классическую формулу вычисления вероятностей.)

Схема электрической цепи представлена на рисунке, где pi, i=1,2,3, является вероятностью безотказной работы (надежностью) i-го элемента.

Схема электрической цепи

Пусть надежности элементов схемы равны p1=0,8, р2=0,7, р3=0,6. Элементы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность безотказной работы (надежность) схемы.

Три независимых эксперта равной квалификации делают правильный прогноз стоимости акции некоторой компании с равной вероятностью р. По статистике вероятность того, что хотя бы один из экспертов ошибается, равна 0,271. Найти вероятность р.

В шкафу находится 9 однотипных новых приборов. Для проведения опыта берут наугад три прибора и после работы возвращают их в шкаф. Внешне новые и использованные приборы не отличаются. Найти вероятность того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется новых приборов.

Зададим надежности работы элементов электрической цепи: p1=0,8, р2=0,7, p3=0,6, p4=0,5, р5=0,4, р6=0,3. Элементы отказывают независимо друг от друга.

а) Найти надежность схемы, приведенной на рис.1;

б) Найти надежность схемы, приведенной на рис.2.

Схема электрической цепи

Вероятность превысить личный рекорд с одной попытки для данного спортсмена равна р. Найти вероятность того, что на соревнованиях спортсмен превысит свой личный рекорд, если он может использовать две попытки, причем, превысив личный рекорд с первой попытки, спортсмен вторую попытку не использует.

В группе учатся 10 студентов. Для решения задачи у доски любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. В группе три отличника. Найти вероятность того, что вторую задачу к доске пойдет решать отличник, при условии, что первую задачу тоже решал отличник.

По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891г.) установлено, что темноглазые отцы и темноглазые сыновья (событие AB) составили 5% обследованных пар, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (событие ) — 7,9% пар, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (событие ) — 8,9% пар, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (событие ) — 78,2% пар. Найти связь между цветом глаз отца и сына, то есть найти , , , .

Две компании X и Y производят однотипную продукцию и конкурируют на рынке сбыта. Перед каждой из них стоит задача модификации производства. Существует два возможных пути изменения технологии: A и B. Вероятность того, что компания X выберет путь A, равна 0,4. Для компании Y эта вероятность равна 0,7. Компании выбирают пути изменения технологии независимо друг от друга. В таблице приведены оцененные экспертами шансы на победу в конкурентной борьбе для компании X в соответствии с выбором компаниями путей изменения технологии.

X/Y A B
A 5:3 2:1
B 1:2 1:2

Найти вероятность победы компании X в конкурентной борьбе.

В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекают наугад два мяча для игры. После игры мячи возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще два мяча для следующей игры. Оба мяча оказались неигранными. Найти вероятность того, что первый раз тоже играли новыми мячами.

За истекший период в торговую фирму поступали телевизоры от трех фирм-поставщиков в следующей пропорции: 1:3:6. Каждая фирма дает на свои телевизоры гарантию, идентифицируя их по серийному номеру и дате поставки. Телевизоры первой фирмы-поставщика требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, второй и третьей — соответственно в 10% и 7% случаев. Проданный телевизор требует гарантийного ремонта, однако потеряны документы, идентифицирующие фирму-поставщика. В какую фирму имеет смысл обратиться в первую очередь?

Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью p имеет дефект, в цехе изделия осматриваются с равными вероятностями одним из двух контролеров. Первый обнаруживает имеющиеся дефекты с вероятностью p1, а второй — с вероятностью p2. Известно, что одно из изделий забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано: а) первым контролером; б) вторым контролером.

На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 рабочих пятого разряда и 5 рабочих четвертого разряда. Вероятность того, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна соответственно 0,95, 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено, при условии, что производительность всех рабочих одинакова.

На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 1:2:7. Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики — 3%, второй — 2%, третьей — 1%. Найти вероятности следующих событий: а) взятое наугад со склада изделие окажется нестандартным; б) взятое наугад со склада изделие произведено первой фабрикой, если известно, что оно оказалось нестандартным.

Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили, и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет сломанный грифель.

Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга. Первая в конечном итоге напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая — остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, а вторая — с вероятностью 0,1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно p1=1/3, p2=1/6, p3=1/2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты, имевшиеся в кассе, будут распроданы, для первой кассы равна P1=3/4, для второй кассы — P2=1/2, для третьей кассы — P3=2/3. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, один — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, удовлетворительно — на 10, плохо — на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% — ко второй и 19% — к третьей. Вероятности возникновения заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0,12, 0,09, 0,2. Найти:

а) вероятность возникновения заболевания у наугад выбранного пациента диспансера;

б) вероятность принадлежности к третьей категории больных пациента диспансера, у которого обнаружено заболевание.

В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Из нее три раза наугад вынимают по одному шару. Требуется найти вероятность того, что все три вынутых шара окажутся белыми (событие A), при выполнении двух разных условий:

а) извлеченные из урны шары обратно не возвращаются;

б) после каждого извлечения шар возвращается обратно.

Три радиостанции, независимо друг от друга, передают самолету один и тот же сигнал. Вероятности того, что самолетом будут приняты эти сигналы, соответственно равны: 0,9, 0,8, 0,75. Найти вероятность того, что самолет примет посылаемый ему сигнал.

Пусть имеется пять урн. В двух из них лежит по одному белому и трем черным шарам, а в трех урнах — по два белых и два черных шара. Наугад выбирается некоторая урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

Два независимых претендента Z и L на пост губернатора края завершают предвыборную кампанию. Каждый из них, независимо от действий другого, может успеть выступить только в одном из городов P и M. Эксперты-политологи считают, что выступления претендентов обязательно состоятся, и оценивают вероятность того, что L предпочтет город P , как равную 2/3. Вероятности выбора городов P и M другим претендентом одинаковы. В таблице показано как, по мнению экспертов, распределяются шансы L по отношению к Z одержать победу на выборах в зависимости от города выступления.

L\Z P M
P 3:1 2:1
M 1:1 1:2

Найти вероятность того, что победу одержит L.

Представители двух фракций Государственной Думы (R и L) претендуют на пост председателя вновь создаваемого комитета. Согласно утвержденному регламенту, выборы должны проводиться альтернативным голосованием по двум кандидатурам (по одной от каждой фракции). У каждой фракции есть по две кандидатуры, обладающие равными шансами быть выдвинутыми в качестве претендента на этот пост. Эксперты оценили шансы фракции R по отношению к L получить пост председателя комитета в зависимости от предложенных кандидатур Li, Ri, i=1,2 (см. таблицу).

R\L L1 L2
R1 1:3 3:2
R2 2:1 1:2

       Найти вероятность того, что победу одержит фракция L.

Два независимых претендента Z и L на пост губернатора края завершают предвыборную кампанию. Каждый из них, независимо от действий другого, может успеть выступить только в одном из городов: P или M. Эксперты-политологи считают, что выступления претендентов обязательно состоятся, и оценивают вероятность того, что L предпочтет город P как 2/3. Вероятности выбора городов P и M другим претендентом одинаковы. В таблице показано, как, по мнению экспертов, распределяются шансы L по отношению к Z одержать победу на выборах в зависимости от города выступления.

L\Z P M
P 4:3 3:1
M 1:1 1:3

Найти вероятность того, что оба претендента выступили в городе P, если известно, что победу одержал Z.

Три фирмы выполняют один и тот же заказ. Вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок 0,75, вторая — 0,8, третья — 0,9, по отдельности. Определить вероятность того, что: а) одновременно первая и вторая выполнят заказ, а третья не успеет; б) все три одновременно не выполнят заказ в срок.

На экспертизу под скрытыми девизами поступают проекты от трех конкурирующих фирм. Вероятность того, что проект первой фирмы пройдет экспертизу с положительной оценкой, равна 0,8, второй — 0,6, третий — 0,9. Для экспертизы выбрали наудачу только один проект. Он ее прошел с хорошей оценкой. Какова вероятность того, что это был проект первой фирмы?

Двигатель может работать в нормальном и форсированном режимах. За время работы двигателя нормальный режим наблюдается в 80% случаев, а форсированный — в 20%. Вероятность выхода из строя при нормальном режиме равна 0,01, а при форсированном — 0,03. Найти полную вероятность выхода двигателя из строя за время работы.

Комиссия проверяет работу служащих трех отделов. В первом отделе работают A штатных и B нештатных служащих, во втором — C штатных и D нештатных, в третьем - только штатные. Из выбранного наудачу отдела также наудачу выбирается служащий. Какова вероятность того, что он в штате?

Имеются 3 урны. В первой находится 10 белых шаров, во второй — 5 белых и 5 черных, в третьей — 10 черных шаров. Из наудачу выбранной урны также наудачу взяли шар. Найти вероятность того, что вынут белый шар?

Три участника конкурса отвечают на вопросы. Вероятность того, что первый участник знает ответ, равна 0,75, второй — 0,8, третий — 0,9. Определить вероятность того, что хотя бы один из них ответит на вопросы?

Имеются два ящика с деталями. В первом находится A деталей 1-го сорта и B деталей 2-го сорта, во втором — C 1-го сорта и D 2-го сорта. Из наудачу выбранного ящика также наугад берут деталь. Какова вероятность того, что это будет деталь первого сорта?

Back to top