Проверка статистических гипотез Задачи с решениями


  • Статистическая гипотеза и общая схема её проверки. Принцип практической уверенности. Уровень значимости. Мощность критерия.
  • Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки). Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки). Исключение грубых ошибок наблюдения.
  • Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях.
  • Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух совокупностей. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного (одинакового) объема. Критерий Бартлетта. Критерий Кочрена. Критерий Фишера-Снедекора.
  • Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
  • Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия. Критерий Пирсона. Критерий Колмогорова.
  • Проверка гипотез об однородности выборок. Критерий Колмогорова-Смирнова.

Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой группе численностью n1=50чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила 85 (изделий), во второй группе численностью n2=70чел. выборочная средняя равна 78 (изделий). Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σx2=100 и σy2=74. На уровне значимости α=0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.

Произведены две выборки урожая пшеницы: при своевременной уборке урожая и уборке с некоторым опозданием. В первом случае при наблюдении 8 участков выборочная средняя урожайность составила 16,2 ц/га, а среднее квадратическое отклонение - 3,2 ц/га; во втором случае при наблюдении 9 участков те же характеристики равнялись соответственно 13,9 ц/га и 2,1 ц/га. На уровне значимости α=0,05 выяснить влияние своевременности уборки урожая на среднее значение урожайности.

Имеются следующие данные об урожайности пшеницы на 8 опытных участках одинакового размера (ц/га): 26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Есть основание предполагать, что значение урожайности третьего участка x*=35,9 зарегистрировано неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5%-ном уровне значимости?

Контрольную работу по высшей математике по индивидуальным вариантам выполняли студенты двух групп первого курса. В первой группе было предложено 105 задач, из которых верно решено 60, во второй группе из 140 предложенных задач верно решено 69. На уровне значимости 0,02 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в усвоении учебного материала студентами обеих групп.

По условию примера 10.4 на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что различия в усвоении учебного материала студентами четырех групп первого курса существенны. Дополнительные условия: для третьей группы m3=63, n3=125, для четвертой группы m4=105, n4=160.

На двух токарных станках обрабатываются втулки. Отобраны две пробы: из втулок, сделанных на первом станке, n1=15шт., на втором станке n2=18шт. По данным этих выборок рассчитаны выборочные дисперсии s12=8,5 (для первого станка) и s22=6,3 (для второго станка). Полагая, что размеры втулок подчиняются нормальному закону распределения, на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью.

По условию примера 10.6 на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью, если имеются 4 токарных станка и отобраны соответственно четыре пробы объемов: n1=15; n2=18; n3=25; n4=32. Выборочные дисперсии размеров втулок равны соответственно: s12 =8,5; s22 =6,3; s32 =9,3; s42 =5,8.

На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить a0=120ден.ед. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность 135ден.ед., а среднее квадратическое отклонение задолженности s=20ден.ед. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли принять данный прогноз; б) найти мощность критерия, использованного в п.а); в) определить минимальное число предприятий, которое следует проверить, чтобы обеспечить мощность критерия 0,975.

По данным примера 9.10 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что средняя выработка рабочих всего цеха равна 121%.

По данным примера 9.11 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что доля нестандартных деталей во всей партии равна 12%.

По данным примера 9.17 на уровне значимости α=0,1 проверить гипотезу о том, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц равно 20м/ч.

По данным примера 10.14 на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0 об однородности двух выборок (результатов двух проверок торговых точек города).

Для эмпирического распределения рабочих цеха по выработке по данным первых двух граф таблицы подобрать соответствующее теоретическое распределение и на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о согласованности двух распределений с помощью критерия χ2.

Таблица значений задачи

Имеются следующие статистические данные о числе вызовов специализированных бригад скорой помощи в час в некотором населенном пункте в течение 300 ч:

Число вызовов в часах xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
Частота ni 15 71 75 68 39 17 10 4 1 300

Подобрать соответствующее теоретические распределение и на уровне значимости α=0,05 поверить гипотезу о согласованности двух распределений с помощью критерия χ2.

По данным примера 10.12 и таблице с помощью критерия Колмогорова на уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина X - выработка рабочих предприятия - имеет нормальный закон распределения с параметрами a=119,2; σ2=87,48, т.е. N(119,2; 87,48).

Таблица параметров задачи

В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице:

Таблица параметров задачи

Можно ли считать, что на уровне значимости α=0,05 по результатам двух проверок (случайных выборок) недовесы овощей описываются одной и той же функцией распределения?

В условии задачи 8.11 дано распределение признака X - месячный доход жителя региона (в руб.); n=1000 (жителей):

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия: а) χ2 - Пирсона; б) Колмогорова.

По выборкам объемом n1=14 и n2=9 найдены средние размеры деталей соответственно 182 и 185мм, изготовленных на первом и втором автоматах. Установлено, что размер детали, изготовленной каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. Известны дисперсии σx2=5 и σy2=7 для первого и второго автоматов. На уровне значимости 0,05 выявить влияние на средний размер детали автомата, на котором она изготовлена. Рассмотреть два случая: а) конкурирующая гипотеза H1: x0≠y0 ; б) конкурирующая гипотеза H1: x0<y0.

Расход сырья на единицу продукции составил:

Таблица данных
Таблица данных

Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0,05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья.

В рекламе утверждается, что месячный доход по акциям A превышает доход по акциям B более чем на 0,3% (или на 0,003). В течение годичного периода средний месячный доход по акциям B составил 0,5%, а по акциям A - 0,65%, а его средние квадратические отклонения соответственно 1,9 и 2,0%. Полагая распределения доходности по каждой акции нормальными, на уровне значимости 0,05 проверить утверждение, содержащееся в рекламе.

Имеются следующие данные о качестве детского питания, изготовленного различными фирмами (в баллах): 40, 39, 42, 37, 38, 43, 45, 41, 48. Есть основание полагать, что показатель качества продукции последней фирмы (48) зарегистрирован неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5%-ном уровне значимости?

Вступительный экзамен проводился на двух факультетах института. На финансово-кредитном факультете из n1=900 абитуриентов выдержали экзамен m1=500 человек; а на учетно-статистическом факультете из n2=800 абитуриентов - m2=408. На уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов двух факультетов. Рассмотреть два случая: а) конкурирующая гипотеза H1: p1≠p2; б) конкурирующая гипотеза H1: p1>p2.

В результате выборочной проверки качества однотипных изделий оказалось, что из 300 изделий фирмы A бракованных 30, из 400 фирмы B - 52, из 250 фирмы C - 21 и из 500 изделий фирмы D бракованных 74 изделия. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что различия в качестве изделий различных фирм существенны.

По данным примера 10.16 выяснить, являются ли существенными различия между дисперсиями расхода сырья на единицу продукции при использовании старой и новой технологий: а) на уровне значимости 0,05 при конкурирующей гипотезе σx2y2; б) на уровне значимости 0,02 при конкурирующей гипотезе σx2≠σy2.

Сравниваются четыре способа обработки изделий. Лучшим считается тот из способов, при котором дисперсия контролируемого параметра меньше. Первым способом обработано 15 изделий, вторым - 20, третьим - 20, четвертым способом - 14 изделий. Выборочные дисперсии контролируемого параметра при разных способах обработки соответственно равны 26, 39, 48, 31 единиц. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что способы обработки деталей обладают существенно различными дисперсиями. Можно ли признать первый способ «лучшим»? Предполагается, что контролируемый параметр распределен нормально.

Установлено, что средний вес таблетки лекарства сильного действия (номинал) должен быть равен 0,5мг. Выборочная проверка n=100 таблеток показала, что средний вес таблетки 0,53мг. На основе проведенных исследований можно считать, что вес таблетки есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σx=0,11мг. На уровне значимости 0,05: а) выяснить, можно ли считать полученное в выборке отклонение от номинала случайным; б) найти мощность критерия, использованного в п. а).

Решить задачу 10.23 при условии, что n=20, выборочная средняя - 0,53мг., а выборочное среднее квадратическое отклонение sx=0,11мг.

Компания не осуществляет инвестиционных вложений в ценные бумаги с дисперсией годовой доходности более чем 0,04. Выборка из 52 наблюдений по активу A показала, что выборочная дисперсия ее доходности равна 0,045. Выяснить, допустимы ли для данной компании инвестиционные вложения в актив A на уровне значимости: а) 0,05; б) 0,01.

Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Фирма разослала 1000 каталогов новой, улучшенной формы и получила 100 заказов. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней.

В соответствии со стандартом содержание активного вещества в продукции должно составлять 10%. Выборочная контрольная проверка 100 проб показала содержание активного вещества 15%. На уровне значимости 0,05 выяснить, должна ли продукция быть забракована. Рассмотреть два случая: а) конкурирующая гипотеза p1≠0,1; б) конкурирующая гипотеза p1>0,1.

В условии задачи 8.12 дано распределение признака X - удой коров на молочной ферме за лактационный период (в ц.); n=100 (коров):

Задачи по теории вероятности и математической статистике

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия: а) χ2 - Пирсона; б) Колмогорова.

По условию задачи 9.30 из большой партии по схеме случайной повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие результаты:

Теория вероятности решение задач

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий согласия: а) χ2 - Пирсона; б) Колмогорова.

По условию задачи 9.34 дано распределение 200 элементов (устройств) по времени безотказной работы (в часах), представленное в таблице:

Задачи с решениями по теории вероятности и математической статистике

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий: а) χ2 - Пирсона; б) Колмогорова.

Имеются две выборки значений (в усл.ед.) объемов 125 и 80 показателя качества однотипной продукции, изготовленной двумя фирмами:

Задачи по теории вероятности и математической статистике

Задачи по теории вероятности и математической статистике

Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что рассматриваемый показатель качества продукции двух фирм описывается одной и той же функцией распределения (т.е. выборки извлечены из одной генеральной совокупности). Решить задачу, используя критерии: а) Колмогорова - Смирнова; б) однородности χ2.

Имеются следующие данные о засоренности партии семян клевера семенами сорняков:

Задачи по теории вероятности и математической статистике

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – число семян сорняков – распределена по закону Пуассона, используя критерий: а) χ2 - Пирсона; б) Колмогорова.

Back to top