Основы математической теории выборочного метода Задачи с решениями


  • Генеральная совокупность. Выборки.
  • Понятие оценки. Точечные оценки.
  • Несмещенные, смещенные, состоятельные, эффективные оценки.
  • Методы нахождения оценок.
  • Методы сумм и произведений расчета сводных характеристик выборки.
  • Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
  • Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше.
  • Интервальные оценки. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.
  • Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение xi (мм); во второй строке приведена частота ni - количество изделий, имеющих отклонение xi):

Таблица параметров задачи

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

f(x)=1/(b-a), (b>a).

Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами a и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка xi; во второй строке указана частота ni - количество измерений, имеющих среднюю ошибку xi):

Таблица параметров задачи

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения.

Найти оценку метода моментов для параметра λ закона Пуассона.

Найти оценку метода максимального правдоподобия для вероятности p наступления некоторого события A по данному числу m появления этого события в n независимых испытаниях.

Найти оценки метода максимального правдоподобия для параметров a и σ2 нормального закона распределения по данным выборки.

Найти оценку метода наименьших квадратов для генеральной средней θ.

Найти несмещенную и состоятельную оценку доли рабочих цеха с выработкой не менее 124% по выборке, представленной в таблице:

Таблица параметров задачи

Найти несмещенную и состоятельную оценку средней выработки рабочих цеха по данным, представленной в таблице:

Таблица параметров задачи

Найти несмещенную и состоятельную оценку дисперсии случайной величины X - выработки рабочих цеха по данным выборки, представленной в таблице:

Таблица параметров задачи

Найти эффективную оценку генеральной доли p повторной выборки.

Найти эффективную оценку генеральной средней (математического ожидания a) повторной выборки для нормально распределенной генеральной совокупности.

При обследовании выработки 1000 рабочих цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим по схеме собственно-случайной выборки было отобрано 100 рабочих. Получены следующие данные (смотри первые две графы таблицы):

Таблица параметров задачи

Необходимо определить: а) вероятность того, что средняя выработка рабочих цеха отличается от средней выборочной не более чем на 1% (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена средняя выработка рабочих цеха. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборки.

Из партии, содержащей 2000 деталей, для проверки по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 200 деталей, среди которых оказалось 184 стандартных. Найти: а) вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине); б) границы, в которых с надежностью 0,95 заключена доля нестандартных деталей во всей партии.

По условию примера 9.10 определить объем выборки, при котором с вероятностью 0,9973 отклонение средней выработки рабочих в выборке от средней выработки всех рабочих цеха не превзойдет 1% (по абсолютной величине).

По условию примера 9.11 определить число деталей, которые надо отобрать в выборку, чтобы с вероятностью 0,95 доля нестандартных деталей в выборке отличалась от генеральной доли не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине). Найти то же число, если о доле нестандартных деталей, даже приблизительно, ничего неизвестно.

По данным примера 9.11 найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключена доля p нестандартных изделий во всей партии, полагая n=50, w= 0,08, N=∞.

Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980ч., а среднее квадратическое отклонение их срока службы — 18ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на . (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.

Опрос случайно отобранных 15 жителей города показал, что 6 из них будут поддерживать действующего мэра на предстоящих выборах. Найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключена доля граждан города, которые будут поддерживать на предстоящих выборах действующего мэра.

На основании выборочных наблюдений производительности труда 20 работниц было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15м ткани в час. Предполагая, что производительность труда работницы имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0,9 заключены генеральные дисперсия и среднее квадратическое отклонение суточной выработки работниц.

Решить задачу, приведенную в примере 9.17, при n=100 работницам.

Для исследования доходов населения города, составляющего 20тыс. человек, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 1000 жителей. Получено следующее распределение жителей по месячному доходу (руб.):

Таблица исходных данных

Необходимо: 1. а) Найти вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода его в выборке не более, чем на 45 руб. (по абсолютной величине); б) определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителей города. 2. Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973?

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров α и β гамма-распределения, плотность которого

$f(x)=\frac{1}{\beta^{\alpha + 1}\cdot\varGamma(\alpha + 1)}\cdot x^{\alpha}\cdot e^{-x/\beta}\ (\alpha>1,\ \beta>0,\ x\ge 0)$.

Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами α и β (α>-1, β>0):

Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным n=45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды xi (см); во второй строке приведена частота ni - количество паводков со средним уровнем воды xi):

xi 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350
ni 1 3 6 7 7 5 4 8 4

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β рассматриваемого гамма-распределения.

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров λ1 и λ2 «двойного распределения» Пуассона: где xi - число появлений события в ni испытаниях, λ1 и λ2 - положительные числа, причем λ2 > λ1.

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку параметра p (вероятность появления события в одном опыте) биномиального распределения:

,

где xi – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте, n – число опытов.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя равна 14 и объем выборки n=25.

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ=0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ=1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

варианта xi -2 1 2 3 4 5
частота ni 2 1 2 2 2 1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ=0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие A появилось 15 раз.

Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

Back to top