Проверка статистических гипотез Задачи с решениями

Фирма-производитель утверждает, что среднее время безотказной работы производимых ею электробытовых приборов составляет по меньшей мере 800ч. со средним квадратическим отклонением σ=120ч. Для случайно отобранных n=50 приборов выборочное среднее время безотказной работы приборов оказалось равным 750ч. На уровне значимости α=0,05: а) выяснить, удовлетворяет ли гарантии вся партия электробытовых приборов; б) найти мощность критерия, использованного в п. а); в) определить минимальное число приборов, которое следует проверить, чтобы обеспечить мощность критерия, равную 0,98.

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=11 и n₂=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,76 и s_Y²=0,38. При уровне значимости α=0,05, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=9 и n₂=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=34,02 и s_Y²=12,15. При уровне значимости α=0,01, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=14 и n₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,84 и s_Y²=2,52. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=9 и n₂=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии D_В(X)=14,4 и D_В(Y)=20,5. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины.

Получены следующие результаты:

а) в первом случае: x₁=9,6; x₂=10,0; x₃=9,8; x₄=10,2; x₅=10,6;

б) во втором случае: y₁=10,4; y₂=9,7; y₃=10,0; y₄=10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n₁=10 и n₂=8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

x_i: 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40; 1,42;

y_i: 1,11; 1,12; 1,18; 1,22; 1,33; 1,35; 1,36; 1,38.

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью [H₀:D(X)=D(Y)], если принять уровень значимости α=0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:D(X)≠D(Y).

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>15.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=0,24. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>0,18.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=31:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>0,18.

Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать σ₀²=0,1. Взята проба из 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующие результаты измерений:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени σ²=2мин². Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы:

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной s_X²=0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной s_X²=0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05?

По двум независимым выборкам, объемы которых n=40 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние соответственно равные 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80, D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁:M(X)≠M(Y).

По выборке объема n=30 найден средний вес 130г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема m=40 найден средний вес 125г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X)=60гa², D(Y)=80га². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀: М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе М(X)≠М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

По выборке объема n=50 найден средний размер 20,1мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №1; по выборке объема m=50 найден средний размер 19,8мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №2. Генеральные дисперсии известны: D(X)=1,75мм², D(Y)=1,375мм². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе М(X)≠М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

По двум независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 31,2, 29,2 и исправленные дисперсии: s_X²=0,84 и s_Y²=0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁:M(Х)≠М(Y).

В трех сериях по 1000 испытаний были получены частоты появления события A – 575, 650, 630. а) Какие из них соответствуют гипотезе о вероятности P(A)=0,64 (уровень значимости α=0,02). б) Взяв за основу результат первой серии испытаний, определить 95-процентный доверительный интервал для оценки вероятности P(A).

При проверке гипотезы о вероятностях 0,5, 0,3, 0,1, 0,1 событий были получены соответственно частоты 1400, 780, 250, 270. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу с уровнем значимости α=0,05. Что изменится, если: а) увеличить частоты в 2 раза; б) уменьшить частоты в 2 раза?

Поступление страховых полисов в 130 филиалах страховых компаний в регионе А составило 26•10⁴ у.е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18•10⁴ у.е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39•10⁸ (у.е.)², в регионе В - 25•10⁸ (у.е)². На уровне значимости α=0,05 определите, существенно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах A и B из расчета на один филиал.

С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α=0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X нормально распределенной с параметрами x и s, рассчитанными по выборке:

В трех сериях по 4000 испытаний были получены частоты появления события A – 380, 410, 340. а) Какие из них соответствуют гипотезе о вероятности P(A)=0,1 (уровень значимости α=0,02). б) Взяв за основу результат первой серии испытаний, определить 95-процентный доверительный интервал для оценки вероятности P(A).

В результате проверки n контейнеров установлено, что число изделий Х, поврежденных при транспортировке и разгрузке, имеет эмпирическое распределение, сведенное в таблицу, где x_i - количество поврежденных изделий в одном контейнере, n_i - частота этого события, т.е. число контейнеров, содержащих x_i поврежденных изделий. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона: n=350, α=0,02.

В результате специального обследования получено выборочное распределение стажа работников завода (Х-стаж работы, лет; m_i^Э - эмпирические частоты; m_i^Т - теоретические частоты нормального распределения):

xi	5	7	9	11	13	15	17	19	21
miЭ	15	26	25	30	26	21	24	20	13
miT	9	16	25	32	34	30	22	18	14

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распре- делением выборки.

В результате специального обследования получено выборочное распределение времени простоя фрезерных станков одного цеха (Х- время простоя, мин;m_i^Э - эмпирические частоты;m_i^T - теоретические частоты нормального распределения):

xi	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5
miЭ	6	8	15	40	16	8	7
miT	5	10	20	27	21	11	6

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

В результате обследования получено следующее распределение дневной выручки от продажи продукции в промтоварных магазинах (Х- дневная выручка,руб.;m_i^Э -  эмпирические частоты (число магазинов);m_i^T - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):

xi	2	3	4	5	6	7	8
miЭ	7	15	20	25	18	13	5
miT	5	14	19	26	20	12	6

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности.

В результате обследования получено выборочное распределение времени, затрачиваемого  ператорами бухгалтерских машин на обработку документов складского учета (Х- время, с; m_i^э -  эмпирические частоты (количество документов);m_i^т - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):

xi	100	105	110	115	120	125
miЭ	5	16	24	13	16	8
miT	6	11	18	20	17	10

 Используя критерий Пирсона, при $alpha$ =0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

В результате обследования опытных участков одинакового размера получено  выборочное распределение урожайности ржи (Х- урожайность, ц/га;m_i^э - эмпирические  частоты;mi^т - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):

xi	16	18	20	22	24	26	28
miэ	5	7	9	10	17	15	11
miт	7	9	12	14	12	11	9

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

Установить при уровне значимости 0,05, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения, что признак Х распределен нормально:

miЭ	5	10	35	70	100	80	20	10
miT	6	13	37	78	95	65	27	9

 

Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии двух типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Для первой группы (12 объектов) средняя  производительность труда x_B=119 деталей, исправленная выборочная дисперсия S_x²=126,91;  для второй группы (12 объектов), соответственно, y_B=107 деталей,S_y² =136,10. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y при уровне значимости 0,05 проверить, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются два типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

Для испытания шерстяной ткани на прочность произведены две выборки объемом в 10 и 12 образцов. Средняя прочность оказалась равной 135 и 136 г при исправленных выборочных дисперсиях 4 и 6. Считая выборки извлеченными из нормальных совокупностей, определить при уровне значимости 0,01 существенность расхождения между средними в обеих выборках.

На заводе имеются центробежные насосы, закупленные на предприятиях А и В по 10 шт. Насосы, закупленные на предприятии А, проработали до поломки в среднем 100 дней, исправленное среднее квадратическое отклонение 10 дней; насосы, закупленные на предприятии В, проработали до поломки в среднем 105 дней, исправленное среднее квадратическое отклонение 9 дней. Заводу требуется приобрести еще насосы. Специалист по материально-техническому снабжению решил, что надо закупать насосы на предприятии В. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверить, действительно ли насосы, выпущенные предприятием В, лучше ($alpha$=0,01).

С целью увеличения срока службы разработана новая конструкция пресс-формы. Старая пресс-форма в 10 испытаниях прослужила в среднем 4,4 месяца с исправленным средним квадратическим отклонением 0,05 месяца. Предлагаемая новая пресс- форма при 6 испытаниях требовала замены в среднем после 5,5 месяца с исправленным средним квадратическим отклонением 0,09 месяца. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверить, действительно ли новая конструкция лучше (используйте $alpha$=0,01).

По выборочным данным 15 предприятий одной отрасли найдена средняя себестоимость x единицы продукции. Она составила x_в=4,85 руб. При этом исправленное среднее квадратическое отклонение S_x оказалось равным 0,94 руб. Аналогично была вычислена средняя себестоимость единицы продукции по 12 предприятиям той же отрасли, она y составила y_в=5,07 руб., а S_y=1,02 руб. При уровне значимости 0,01 выявить существенность различия средней себестоимости единицы продукции на предприятиях, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Хи Y.