Основные теоремы Задачи с решениями


  • Теоремы сложения и умножения.
  • Формула полной вероятности.
  • Формула Байеса.

Имеются 4 урны. В первой урне находится 1 белый и 1 черный шары, во второй — 2 белых и 3 черных шара, в третьей — 3 белых и 5 черных шаров, в четвертой — 4 белых и 7 черных шаров. Событие Hi — выбор i-ой урны (i=1, 2, 3, 4). Дано, что вероятность выбора i-ой урны есть i/10. Выбирается наугад с указанной вероятностью одна из урн и вынимается из нее один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Радист дважды вызывает своего корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй — 0,3. События, состоящие в том, что вызовы будут услышаны, независимы. Найти вероятность того, что вызовы будут услышаны не менее одного раза?

Имеются три ящика. В первом ящике находится 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных. В третьем — 20 черных. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынули из первого ящика.

Имеются две урны. В первой урне A белых и B черных шаров. Во второй — C белых и D черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар, шары перемешиваются, а затем из второй урны в первую также перекладывается один шар. После этого из первой берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

В ящике находится A новых теннисных мячей и B игранных. Из ящика наугад вынимают два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика опять берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (A, B не меньше 2).

Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь A и две трети - деталь B. При обработке детали A он простаивает 10% времени, а деталь B - 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим?

По мишеням производится три выстрела. Рассматриваются события Ai — попадание при i-ом выстреле (i=1, 2, 3). Представить в виде сумм, произведений и т.д. событий Ai, Āi следующие события: A — все три промаха, B — все три попадания, C — хоть одно попадание, D — хоть один промах. Найти их вероятности, если вероятность любого из событий Ai одна и та же и равна P.

Имеются три урны. В первой урне находится A белых и B черных шаров, во второй — C белых и D черных, в третьей — E белых шаров. Выбирают наугад одну из урн и вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет белым?

Обучающая машина-экзаменатор содержит два набора вопросов: 1 – состоит из 5 трудных и 25 легких вопросов, 2 – 20 трудных и 10 легких. Машина с заданной вероятностью выбирает набор, затем случайно выбирает вопрос и предъявляет его экзаменующемуся. Как нужно задать вероятности выбора 1 и 2 наборов, чтобы использовать в среднем одинаковое число трудных и легких вопросов, т.е. уровнять вероятности предъявления трудных и легких вопросов?

Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось одно попадание. Определить вероятность того, что попал первый стрелок.

В магазин поступили телевизоры от трех фирм. На долю первой фирмы приходится 50% общего числа поставок, на долю второй фирмы – 20%, а на долю третьей фирмы – 30%. Из практики известно, что бракованными оказываются 4% телевизоров, поставляемых первой фирмой, 3% - поставляемых второй фирмой и 5% - поставляемых третьей фирмой.

1) Найти вероятность того, что купленный в данном магазине телевизор окажется бракованным.

2) Найти вероятность того, что купленный в магазине и оказавшийся бракованным телевизор, был произведен первой фирмой.

На склад поступает продукция 3-х фабрик, причем продукция 1-ой фабрики составляет 20%, 2-ой46%, 3-ей34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

В урне находятся 30 шаров, из них 15 белых, 8 черных и 7 красных. Определить вероятность извлечения красного или черного шара.

В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки A, 6 – марки B и 4 – марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на этих станках, окажется отличным, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны идут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; по четвертой – 0,1; по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?

Пусть в коробке есть три новых и три уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки два мяча и затем их возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наудачу вынуть два новых мяча?

На склад сети открывшихся магазинов поступили изделия однотипной продукции от 4-х производителей и были складированы без различия относительно производителей. Оказалось, что среди так складированной продукции значительная доля брака. Поэтому на фабриках производителей была осуществлена официальная проверка, установившая по каждому из производителей вероятность P брака для производимого им изделия. Кроме того, по документам были установлены доли D объёмов ранее поставленной производителями сети магазинов продукции. Найти все вероятности того, что бракованное изделие на складе сети магазинов принадлежит конкретному производителю (эта информация может служить основанием для предъявления соответствующих официальных штрафных санкций).

p1=0,35; p2=0,15; p3=0,25; p4=0,3; d1=0,3; d2=0,15; d3=0,15; d4=0,4.

Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

Экзамен принимают два преподавателя. Вероятность того, что студент будет сдавать экзамен одному преподавателю, равна 0,55, второму - 0,45. Вероятность того, что первый преподаватель примет экзамен, равна 0,9, а второй - 0,98. Экзамен был сдан. Найдите вероятность того, что принял экзамен второй преподаватель.

В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки A, 6 – марки B и 4 – марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на этих станках, окажется отличным, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. 1) Какой процент бракованных деталей выпускает цех в целом? 2) Известно, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной. На каком автомате вероятнее всего была произведена эта деталь?

Вероятность того, что студент 4-го курса перейдет на 5-ый равна 0,9. Вероятность окончить институт равна 0,7. Какова вероятность того, что студент перейдет на 5-ый курс и окончит институт?

В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

В первом ящике 100 пуговиц – из них: 10 с одной дыркой, а во втором ящике – 200 пуговиц, из них 15 с одной дыркой, в третьем ящике – 300 пуговиц, из них 30 с одной дыркой. Какова вероятность того, что:

а) наудачу взятая пуговица без дефекта;

б) пуговица с дефектом взята из третьего ящика.

70% гарнитуров, поступивших в мебельный магазин из Иркутска, 30% - из Улан-Удэ. 10% иркутской мебели и 5% улан-удэнской мебели нестандартны. Какова вероятность того, что:

а) наудачу выбранный гарнитур стандартен;

б) стандартный гарнитур из Улан-Удэ.

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в 2 раза больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 40% деталей отличного качества, а второй - 50%. Наудачу взятая с конвейера деталь, оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом.

В урне находятся 5 шаров белого цвета и 4 шара черного цвета. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.

На некоторой фабрике машина A производит 40% всей продукции, а машина B - 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной A, оказываются браком, а у машины B брак - 2 единицы из 400. Некоторая единица продукции, выбранная случайно из дневной продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине B?

Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найти вероятность того что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы одна дефектная.

Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того оба брата вытащат билет номер 6.

Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятности того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей, соответственно равны 0,7, 0,6 и 0,9. 1) Какова вероятность получения сообщения? 2) Сообщение адресатом получено, какова вероятность, что оно передано по факсу?

В команде 4 лыжника, 6 бегунов и 10 велосипедистов. Вероятность выполнить норму мастера спорта для лыжника равна 0,2, бегуна - 0,15, велосипедиста - 0,1. Вызванный наудачу спортсмен не выполнил норму. Определить вероятность того, что был вызван бегун.

В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 10 слабых студентов. На экзамене отличники могут получить только 5, хорошисты 4 и 5, а слабые - 4, 3, 2. Какова вероятность, что наугад выбранный студент - слабый, но получил 4.

Back to top