Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями



Гмурман
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике:Учебное пособие для студентов ВТУЗов.-3-е изд. перераб. и доп.-М.: Высш. школа, 1979.-400с., нл.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя равна 14 и объем выборки n=25.

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ=0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ=1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

варианта xi -2 1 2 3 4 5
частота ni 2 1 2 2 2 1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ=0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности p с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие A появилось 15 раз.

Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ=0,999.

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

варианта xi 12 14 16 18 20 22
частота ni 5 15 50 16 10 4

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

варианта xi 2 3 7 9 11 12,5 16 18 23 25 26
частота ni 3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9

Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
ni 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5

Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi 12 14 16 18 20 22
ni 5 15 50 16 10 4

Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
ni 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5

Выборка задана в виде распределения частот:

xi 4 7 8 12
ni 5 2 3 10

Найти распределение относительных частот.

Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: а)

xi 2 5 7 8
ni 1 3 2 4

б)

xi 4 7 8
ni 5 2 3

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

xi 1 3 6 26
ni 8 40 10 2

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:

xi 2560 2600 2620 2670 2700
ni 2 3 10 4 1

По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка DВ=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.

Таблица параметров задачи

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:

xi 340 360 375 380
ni 20 50 18 12

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:

xi 2502 2804 2903 3028
ni 8 30 60 2

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

xi 0,1 0,5 0,6 0,8
ni 5 15 20 10

Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

xi 18,4 18,9 19,3 19,6
ni 5 10 20 15

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=100:

xi 1250 1270 1280 1300
ni 20 25 50 5

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=20:

xi 0,1 0,5 0,7 0,9
ni 6 12 1 1

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

xi 23,5 26,1 28,2 30,4
ni 2 3 4 1

Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество xi сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота ni - число проб, содержащих xi семян сорняков):

xi 0 1 2 3 4 5 6
ni 405 366 175 40 8 4 2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество xi нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота ni - число партий, содержащих xi , нестандартных изделий):

xi 0 1 2 3 4
ni 132 43 20 3 2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ, распределения Пуассона.

Найти методом моментов по выборке x1, x2, ...., xn точечную оценку параметра p биномиального распределения:

 

где xi – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Случайная величина X (число появлений события A в n независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число xi появлений события A в одном опыте; во второй строке указана частота ni - количество опытов, в которых наблюдалось X; появлений события A):

xi 0 1 2 3 4
ni 5 2 1 1 1

Найти методом моментов точечную оценку параметра p биномиального распределения.

Найти методом моментов по выборке х1, х2,..., xn точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

f(x)=λe-λx (x≥0).

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время xi - работы элемента в часах; во второй строке указана частота ni - количество элементов, проработавших в среднем xi часов):

xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
ni 133 45 15 4 2 1

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Найти методом моментов точечную оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=хi)=(1—p)xi-1∙p,

где xi - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом моментов оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=хi)=(1—p)xi-1∙p,

если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Back to top