Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=9 и n₂=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=34,02 и s_Y²=12,15. При уровне значимости α=0,01, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)>D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=14 и n₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s_X²=0,84 и s_Y²=2,52. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

По двум независимым выборкам, объемы которых n₁=9 и n₂=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии D_В(X)=14,4 и D_В(Y)=20,5. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу H₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁:D(X)≠D(Y).

Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины.

Получены следующие результаты:

а) в первом случае: x₁=9,6; x₂=10,0; x₃=9,8; x₄=10,2; x₅=10,6;

б) во втором случае: y₁=10,4; y₂=9,7; y₃=10,0; y₄=10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n₁=10 и n₂=8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

x_i: 1,08; 1,10; 1,12; 1,14; 1,15; 1,25; 1,36; 1,38; 1,40; 1,42;

y_i: 1,11; 1,12; 1,18; 1,22; 1,33; 1,35; 1,36; 1,38.

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью [H₀:D(X)=D(Y)], если принять уровень значимости α=0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:D(X)≠D(Y).

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>15.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=0,24. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>0,18.

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=31:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:σ²=σ₀²=0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁:σ²>0,18.

Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать σ₀²=0,1. Взята проба из 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующие результаты измерений:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени σ²=2мин². Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы:

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной s_X²=0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?

Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной s_X²=0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05?

По двум независимым выборкам, объемы которых n=40 и m=50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние соответственно равные 130 и 140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80, D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе H₁:M(X)≠M(Y).

По выборке объема n=30 найден средний вес 130г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема m=40 найден средний вес 125г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X)=60гa², D(Y)=80га². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀: М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе М(X)≠М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

По выборке объема n=50 найден средний размер 20,1мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №1; по выборке объема m=50 найден средний размер 19,8мм диаметра валиков, изготовленных автоматом №2. Генеральные дисперсии известны: D(X)=1,75мм², D(Y)=1,375мм². Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе М(X)≠М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

По двум независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: 31,2, 29,2 и исправленные дисперсии: s_X²=0,84 и s_Y²=0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀:М(X)=М(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁:M(Х)≠М(Y).