Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике Задачи с решениями



Гмурман
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике:Учебное пособие для студентов ВТУЗов.-3-е изд. перераб. и доп.-М.: Высш. школа, 1979.-400с., нл.

Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y: f1(x)= 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Заданы плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)= 1 в интервале (0,1), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1 в интервале (0,1), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Заданы плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)= 1/2 в интервале (1,3), вне этого интервала f1(x)=0; f2(y)=1/4 в интервале (2,6), вне этого интервала f2(x)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y X
3 10 12
4 0,17 0,13 0,25
5 0,10 0,30 0,05

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y X
26 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x= π/4, y=π/6, y=π/3.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности системы (X,Y).

Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: f(x,y)=(1/2)Sin(x+y) в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата f(x,y)=0. Найти функцию распределения системы (X,Y).

В круге x2+y2≤R2 двумерная плотность вероятности:

вне круга f(x,y)=0. Найти: а) постоянную C; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиуса r=1 с центром в начале координат, если R=2.

Задана двумерная плотность вероятности:

системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C.

Задана двумерная плотность вероятности:

системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C.

В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин:

Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами A(1;3), B(3;3), C(2;8).

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Y X
x1=2 x2=5 x3=8
y1=0,4 0,15 0,30 0,35
y2=0,8 0,05 0,12 0,03

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y1=0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что Х=x2= 5.

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Y X
3 6
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что Х=6.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.

Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины f(x,y)=Cosx·Cosy в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата f(x,у)=0. Доказать, что составляющие X и Y независимы.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольной трапеции с вершинами O(0;0), A(0;4), B(3;4), С(6;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0;0), A(0;8), B(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами A(-6;0), B(-3;4), C(3;4), D(6;0),. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y): f(x,y)=2CosxCosy в квадрате 0≤x≤π/4, 0≤y≤π/4; вне квадрата f(x,y)=0. Найти математические ожидания составляющих.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f(x,y)=(1/2)Sin(x+y)

в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата f(x,y)=0. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

f(x,y)=(1/4)SinxSiny

в квадрате 0≤x≤π, 0≤y≤π; вне квадрата f(x,y)=0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что X и Y зависимы, но некоррелированные.

Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X,Y) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая - только от y, то величины X и Y независимы.

Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y=aX+b, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение xi (мм); во второй строке приведена частота ni - количество изделий, имеющих отклонение xi):

Таблица параметров задачи

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

f(x)=1/(b-a), (b>a).

Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами a и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка xi; во второй строке указана частота ni - количество измерений, имеющих среднюю ошибку xi):

Таблица параметров задачи

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения.

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три среднеквадратических отклонения.

Доказать неравенство Чебышева в форме

Back to top