Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика Задачи с решениями

Среднее значение длины детали 50см, а дисперсия - 0,1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5см. Уточнить вероятность того же события, если известно, что длина случайно взятой детали имеет нормальный закон распределения.

Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине).

В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона — безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,2 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.

В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.

Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

Случайный процесс определяется формулой X(t)=XCos(ωt), где X — случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х)=а, D(Х)=σ².

Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающий заранее неизвестное случайное время.

На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ=1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Найти предельные вероятности для системы S из примера 7.2, граф состояний которой приведен на рисунке, при λ₀₁=1, λ₀₂=2, λ₁₀=2, λ₁₃=2, λ₂₀=3, λ₂₃=1, λ₃₁=3, λ₃₂=2.

Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях примеров 7.2 и 7.4, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно 10 и 6 ден.ед, а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющей возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Процесс гибели и размножения представлен графом (рисунок). Найти предельные вероятности состояний.

Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_об=2мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

В условиях примера 7.7 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3ч. Интенсивность потока заявок 0,25(1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Случайный процесс определяется формулой X(t)=Xe^-t (t>0), где X — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и σ². Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного процесса.

Необходимо изучить изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим. Получены следующие данные о распределении 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году):

{97,8; 97,0; 101,7; 132,5;…; 132,3; 104,2; 141,0; 122,1} – всего 100 значений.

Построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения рабочих: а) по тарифному разряду по данным таблицы:

Тарифный план xi	1	2	3	4	5	6
Частота (количество рабочих)ni	2	3	6	8	22	9	50

б) по выработке по данным таблицы:

Найти среднюю выработку рабочих по данным таблицы:

Найти медиану распределения рабочих по тарифному разряду по данным таблицы:

 

Тарифный план xi	1	2	3	4	5	6
Частота (количество рабочих)ni	2	3	6	8	22	9	50

Найти медиану и моду распределения рабочих по выработке по данным таблицы:

Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации распределения рабочих по выработке по данным таблицы:

Имеются следующие данные о средних и дисперсиях заработной платы двух групп рабочих (см. таблицу):

 

Найти общую дисперсию распределения рабочих по заработной плате и его коэффициент вариации.

Вычислить упрощенным способом среднюю арифметическую и дисперсию распределения рабочих по выработке по данным таблицы:

Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения рабочих по выработке по данным таблицы:

Дано распределение признака X - число сделок на фондовой бирже за квартал; n=400 (инвесторов):

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ni	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	2

Необходимо:

1) построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения Х;

2) найти:

а) среднюю арифметическую;

б) медиану и моду;

в) дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации;

г) начальные и центральные моменты k-го порядка (k=1, 2, 3, 4);

д) коэффициент асимметрии и эксцесс.

Найти оценку метода моментов для параметра λ закона Пуассона.

Найти оценку метода максимального правдоподобия для вероятности p наступления некоторого события A по данному числу m появления этого события в n независимых испытаниях.

Найти оценки метода максимального правдоподобия для параметров a и σ² нормального закона распределения по данным выборки.

Найти оценку метода наименьших квадратов для генеральной средней θ.

Найти несмещенную и состоятельную оценку доли рабочих цеха с выработкой не менее 124% по выборке, представленной в таблице: