Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи с решениями

В отдел технического контроля поступила партия из 15 изделий, среди которых 5 бракованных. Для проверки качества партии наугад выбрано одно изделие. С какой вероятностью оно окажется бракованным?

Усложним предыдущую задачу. Предположим, что для проверки партии, состоящей из 15 деталей, среди которых находятся 5 бракованных, выбираются 3 детали. Партия считается бракованной, если бракуется хотя бы одна деталь. Требуется найти вероятность того, что партия будет забракована. 

Для 20 участников конференции, среди которых 12 российских, в гостинице забронировано 20 номеров. Из этих номеров 12 - с видом на море. Портье наугад выдает участникам конференции ключи от номеров. Найти вероятность того, что номера с видом на море достанутся 12 российским участникам конференции.

Подбрасывают K игральных костей. Найти вероятность получения суммы очков, равной: а) K; б) K+1.

Три студента МАИ, два студента МЭИ и четыре студента МГУ наугад рассаживаются в три вагона. Для каждого пассажира вероятность оказаться в любом из вагонов одинакова.

Найти вероятности следующих событий:
а) три студента МАИ окажутся в разных вагонах;
б) два студента МЭИ окажутся в разных вагонах.

 

Предположим, что в каждом из трех вагонов есть ровно k мест, и каждый из трех студентов МАИ может занять любое из имеющихся мест. Найти вероятность того, что три студента МАИ окажутся в разных вагонах. 

В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Какова вероятность остаться без выигрыша, приобретя 3 билета лотереи?

Усложним, по сравнению с предыдущей задачей, правила лотереи. Пусть в лотерее осуществляется розыгрыш 6 номеров из 49. Порядок выпадения выигрышных номеров неважен. Участник лотереи выбирает 6 номеров из 49. Выигрыш выплачивается угадавшим 4, 5 или все 6 номеров. Определить вероятность угадывания ровно четырех выигрышных номеров.

Пусть H₁, H₂, H₃, H₄ - равновероятные гипотезы. Являются ли гипотезами события H₁+H₂ и H₃+H₄?

Пусть P(A)=P(B)=1/2. Верно ли, что P_B(A)=P_A(В)?

Из колоды карт (52 карты) наугад вынимается одна. Являются ли зависимыми события: A – эта карта туз, и B – эта карта имеет пиковую масть?

Система состоит из двух элементов с надежностями p₁ и p₂ соответственно. Элементы соединены параллельно и выходят из строя независимо друг от друга. Работоспособность системы сохраняется, если работает хотя бы один элемент. Система работает. Найти вероятность того, что неисправен первый элемент.

Некто нашел чужую пластиковую карточку банкомата. Найти вероятность того, что двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит для того, чтобы отгадать неизвестный ему четырехзначный код.

Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, составляет 5%. Найти вероятность того, что при выдаче банком 100 кредитов проблемы с возвратом денег возникнут не менее чем в двух случаях. Предполагается, что различные кредиты выдаются и возвращаются независимо друг от друга.

В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм изготовителей в соотношении 2:5:3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей — соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность того, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

После осмотра больного врач считает, что равновозможно одно из двух заболеваний C или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании C в 30 процентах случаев, а при заболевании D — в 20 процентах случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным?