Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №433, стр.149

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

в квадрате 0≤x≤π, 0≤y≤π; вне квадрата f(x,y)=0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что X и Y зависимы, но некоррелированные.

Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X,Y) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая - только от y, то величины X и Y независимы.

Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y=aX+b, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три среднеквадратических отклонения.

Доказать неравенство Чебышева в форме

Используя неравенство Чебышева в форме, приведенной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два среднеквадратических отклонения.