Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
dx + N(x, y)dy = 0)
(1)
есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если 
.
Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию )
, от которой полный дифференциал  = F'_xdx + F'_ydy)
равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно записать в виде  = C)
, где С — произвольная постоянная.
ПРИМЕР 1 Решить уравнение:
dx + (x^3-3y^2)dy = 0)
Решение:
В первую очередь докажем, что данное тождество является уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем производные обоих слагаемых:
' = 3x^2)
' = 3x^2)
Так как производные равны, то данное уравнение является тем, что нам нужно. Поэтому переходим к решению.
Для начала найдем функцию , полный дифференциал которой был бы равен левой части исходного уравнения, т.е. такую функцию F, что
(2)
Для этого интегрируем по 
первое из уравнений (2), считая 
постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить )
— неизвестную функцию от :
dx = x^3 + x^3y + \phi (y))
Подставляя это выражение для 
во второй из уравнений (2) найдем
)'_y = x^3-3y^2)
;
=-3y^2)
;
=-y^3 + const)
.
Следовательно, можно взять  = x^2 + x^3y - y^3)
, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид
Ответ:
Интегрирующий множитель
Интегрирующим множителем для уравнения
dx + N(x, y)dy 0)
(3)
называется такая функция  \neq 0)
, после умножения на которую уравнение (3) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и N в уравнении (3) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (3) неизвестно).
Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:
 = ydx + xdy)
, =2ydy)
,
=\frac{ydx-xdy}{y^2})
, =\frac{dy}{y})
и т. д.
ПРИМЕР 2. Решить уравнение
dy=0)
Решение:
В первую очередь, выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как )
, то деля исходное уравнение на 
, имеем
 + 4ydy=0)
, +d(2y^2)=0)
Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосредственно, получаем решение:
Кроме того, при делении на было потеряно решение 
ПРИМЕР 3. Решить уравнение
dy=0)
Выделив полный дифференциал, как в предыдущем примере, получаем:
+xydy = 0)
Перейдя к переменным 
и , получим уравнение
,
которое очень просто решается.
Как вы видите в решении подобных уравнений никаких сложностей нет, достаточно просто вникнуть в тему и решить парочку примеров.
На этом все. Всем спасибо за внимание!
Уроки по теории вероятности
В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность. Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то
Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное
Теоретическая часть Уравнение (1) называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение (2) (это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию
Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней. Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия. Числовая окружность Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях,
При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения. Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A. ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа
Загружаем...