Классическая вероятностная схема


В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/N. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в нижеследующих экспериментах.

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».
17
Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, «бросание» шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее:

  1. исход опыта является случайным;
  2. имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов;
  3. все эти исходы равновероятны. В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле:

      1.12

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов; — число тех из них, которые приводят к событию А.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение. Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

В карточной колоде имеется ровно четыре туза и число различных комбинаций, дающих два туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

И окончательно получаем,

Ответ: вероятность примерно равна 0,012 или 1,2%.

ПРИМЕР 2. Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры «играющему» приходится учитывать возможность образования у одного из «вистующих» – противников комбинации из трех оставшихся «червей». Какова вероятность этого события?

Решение. У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Отсюда следует

Вероятность появления третьей дамы у любого из «вистующих», очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 3. В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся исправными? 

Решение.

Введем следующие обозначения:

N = 30 — общее число машинок;

n = 20 — число исправных машинок;

m = 5 — отобранных в партию (подмножество) машинок;

k = 3 — число исправных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок равно числу сочетаний из N элементов по m, т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три исправные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно формуле (1.12), представленной вначале урока окончательно получаем:

       1.13

Теперь подставим численные значения и вычислим, наконец, нашу вероятность.

Ответ: вероятность наступления данного события примерно 0,36 или 36%

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

 

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!

Уроки по теории вероятности

Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное

Теоретическая часть Уравнение           (1) называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение               (2) (это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию

Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней. Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия. Числовая окружность Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях,

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения. Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A. ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа

Back to top