Урок №4 Линейные уравнения первого порядка


Теоретическая часть

Уравнение

          (1)

называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение

              (2)

(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х).

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.

Пример №1 Привести уравнение к линейному виду.

Данное уравнение, в котором  является функцией от нелинейное.

Запишем его в дифференциалах:

Так как в это уравнение и входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а — независимым переменным.

Тогда уравнение можно представить в виде:

И решается данное уравнение аналогично (1).

Пример №2 Решить уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли: , где n≠1.

Чтобы решить данное уравнение нужно обе части разделить на , получаем:

.

Далее делаем замену: , получаем:

Теперь подставим это в выражение и получим:

.

Избавившись от знаменателя мы получаем линейное уравнение, которое решается аналогично (1).

Пример №3 Решить уравнение Риккати.

Уравнение Риккати имеет вид:

Данное уравнение не решается в квадратурах.

Если же известно, одно частное решение , то делается замена .

Выполнив замену, мы получаем уравнение Бернулли, о котором мы говорили в предыдущем примере.


Кстати, иногда частное решение можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего ).

Существуют и другие способы решения линейных уравнений первого порядка, но мы рассмотрели самые удобные и простые в расчетах.

Пример №4 Решить уравнение

В первую очередь решим соответствующее однородное уравнение (о том как они решаются можно посмотреть в предыдущем уроке):

.

Общее решение нашего однородного уравнения имеет вид:

.

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной (то, о чем мы говорили в самом начале урока) и получаем:

или сделав преобразование получим:

.

И отсюда находим С(х):

И окончательный ответ:

Пример №5 Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x2y’ + xy + x2y2 = 4.

Ищем частное решение в виде

, где — постоянная.

Подставив частное решение в уравнение получаем:

.

Решив неполное квадратное уравнение, получаем

и

Пускай a = 2, тогда, произведя замену: получаем линейное уравнение:

.

Проинтегрировав полученное уравнение, находим:

.

Следовательно общее решение уравнения принимает вид:

Частное решение получается из общего при С = ∞.

Уроки по теории вероятности

Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней. Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия. Числовая окружность Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях,

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения. Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A. ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа

Back to top