Начнем с того, что матрица — это математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов (числа, буквенные значения и т.д.)
Теперь вкратце пробежимся по теории.
Матрица 2-го порядка
, cоставленная из четырех действительных (или комплексных) чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка.
Определителем матрицы А, называется число
Пример № 1
Найдите определитель матрицы:
Как вы поняли из теории, чтобы найти определитель матрицы 2-го порядка достаточно найти разность произведений чисел, представленных крест-накрест:
= 3*2 — 5*(-1) = 6 — (-5) = 6 + 5 = 11
Матрица 3-го порядка
— квадратная матрица 3-го порядка
Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число
= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 – (a31a22a13 + a21a12a33 +a32a23a11)
Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса (правило звездочки):
Кстати, есть небольшая хитрость в этом правиле для тех, кто боится запутаться. Заключается она в том, что нужно первые два столбца матрицы переписать за правую скобку и вы увидите, что вычислять определитель станет намного проще.
Сперва работаете с тремя красными линиями (находите сумму произведений трех линий), а после работаете с синими линиями (также находите сумму произведений, но уже синих линий). И в конце от суммы красных вычитаете сумму синих. Вот и ваш ответ. Попробуйте, это реально проще. Но я не ищу легких путей, поэтому, в основном, буду работать именно с правилом Саррюса, но вам сперва советую пользоваться данной хитростью.
Ну и теперь, наконец, переходим на свойства определителей 3-го порядка:
- Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится.
- Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
- Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак, в частности, если две строки (столбца) равны, то он равен нулю.
Ну и теперь переходим к практической части.
Пример №2
Доказать первое свойство определителей 3-го порядка.
Возьмем любую матрицу третьего порядка, допустим:
Для начала найдем определитель данной матрицы, для этого используем «правило звездочки»
= 5*1*(-1) + 6*4*4 + -5*(-3)*0 — ((-5)*1*4 + 6*(-3)*(-1) + 5*0*4) = -5 + 96 + 0 — (-20 + 18 + + 0) = 91 — (-2) = 93
Итак, определитель матрицы равен 93 (внимательно следите за цифрами, которые используете). Перед тем как привыкните советую вам простым карандашом выделять линиями те цифры, которые уже использовали. И не забывайте смотреть на схему правила Саррюса, представленную в теоретической части.
Решаем далее…
Сейчас нам необходимо транспонировать матрицу, а значит, переписать матрицу, меняя строки столбцами, а столбцы строками — здесь нет ничего сложного (берете первые три цифры из строки и записываете их в столбик и так далее).
Разобрались? Ничего ведь сложного, правда?
Теперь, также найдем определитель транспонированной матрицы:
= 5*1*(-1) + (-3)*0*(-5) + 4*6*4 — (4*1*(-5) + (-3)*6*(-1) + 0*4*5) = -5 + 0 + 96 — (-20 + 18 + 0) = 91 — (-2) = 93
А теперь сравните определитель матрицы A и определитель транспонированной матрицы AT
В обоих случаях получилось 93, а значит свойство доказано!!!
Пример №3 Вычислить определитель
= 7 * 4 — 1 * (-3) = 28 + 3 = 31
Пример №4
= 7 * (-5) * 2 + 8 * 0 * 1 + (-3) * (-3) * 4 — (-3) * (-5) * 1 — 8 * (-3) * 2 — 0 * 4 * 7 = -70 +0 + 36 -15 + 48 — 0 = -1
На этом наш первый урок подходит к концу. После его изучения вы должны были научиться находить определители матрицы 2-го и 3-го порядка, а также научились транспонировать матрицу.
Уроки по теории вероятности
Изучение теории вероятностей всегда начинается с комбинаторики, ведь именно она составляет начальную базу, необходимую для дальнейшего углубления материала. Правило произведения и суммы Правило произведения. Если элемент строки () можно выбрать способами и после каждого такого выбора элемент можно выбрать – способами, и после выбора и элемент можно выбрать способами и т.д., наконец, независимо от выбора
Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения. Теоретическая часть Однородные уравнения могут быть записаны в виде , а также в виде , где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену , после чего получается уравнение
Данная тема будет полезна тем, кто хочет в дальнейшем подробно изучать предмет «Математическая статистика», ну и, конечно, для самых любознательных. Среднее арифметическое Десять учеников засекли время выполнения домашнего задания и получили результаты ( в минутах): 15, 17, 35, 24, 17, 29, 14, 20, 21, 30. Чтобы найти сколько времени в среднем уходит на выполнение домашнего задания
На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям. Уравнение и его корни Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения. Уравнения могут иметь, как
На прошлом уроке мы познакомились (повторили) понятие «Выражение«. Во внимание мы взяли только основу, а именно определение числовых выражений и выражений с переменными, а также затронули тему сравнение выражений. Сегодня мы изучим уже более интересную тему — Преобразование выражений. Свойства действий над числами Как вы помните, надеюсь, существует три основных свойства сложения и умножения чисел:
Загружаем...