Однородные уравнения


Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения.

Теоретическая часть

Однородные уравнения могут быть записаны в виде , а также в виде , где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену , после чего получается уравнение с разделяющимися переменными, которые мы с вами научились вычислять на прошлом уроке.

Пример №1 Решить уравнение:

Так как это однородное уравнение, то сделаем замену , тогда . Подставив это в наше уравнение, получим:

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, так давайте решим его теперь:

Делаем обратную замену:

Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .


 

Уравнение вида приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и .

Если же эти прямые не пересекаются, то ; следовательно. уравнение имеет вид и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой (или ).

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой . Число m обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному данным способом.

Пример №2 Определить можно ли привести уравнение к однородному виду.

Дано уравнение и нам нужно определить можно ли его привести к однородному виду и какую замену для этого нужно сделать.

После замены уравнение принимает вид:

Это уравнение будет однородным если его степени всех его членов равны между собой, т.е. .

Найдем при каком значении все три равенства удовлетворяются.

Во, первых проще всего найти из двух последних значений:

, отсюда

Значение мы нашли, но будет ли оно удовлетворять первому значению, проверим, подставив значение:

Все три равенства удовлетворяются, а значит, наше уравнение можно привести к однородному виду заменой


 

C теорией на сегодня все, тема легкая и, думаю, что понятная, но на всякий случай решим еще один пример:

Пример №3 Решить уравнение:

Допустим , тогда получим

⇒ функции и однородны лишь при одном условии:

, т.е. при

Таким образом, в случае y ≥ 0 делаем замену y=√z. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

Делаем еще одну замену: и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Проинтегрировав его (не буду расписывать, надеюсь это вы умеете, если нет, то найдите урок про интегрирование функций) получаем:

Делаем обратную замену:

Решение уравнения y=0 входит в полученное семейство при C = ∞.

Пример №4 

Сделаем замену: , тогда , получаем:

Раскроем скобки и упростим:

Запишем в дифференциалах:

Продифференцировав, получаем:

Упростим:

Найдем :

Делаем обратную замену:

Ответ:

Пример №5

Найдем точки пересечения прямых, для этого решается система уравнений (надеюсь расписывать не нужно, если изучаете дифуры, то школьную базу вы и так должны знать).

Так вот решив систему уравнений, состоящую из двух уравнений и мы выясняем, что точек пересечения нет, а если прямые не пересекаются, то вывод один — они параллельны и если построить график, то вы в этом убедитесь.

Так вот если прямые параллельны, то замену, которую мы проводили при решении примеров в параграфе мы не можем. Однако, в силу того, что коэффициенты y и x пропорциональны можем положить,что

И тогда

и исходное уравнение принимает вид:

Интегрируя это уравнение получаем

Ответ:

 

Уроки по теории вероятности

Данная тема будет полезна тем, кто хочет в дальнейшем подробно изучать предмет «Математическая статистика», ну и, конечно, для самых любознательных. Среднее арифметическое Десять учеников засекли время выполнения домашнего задания и получили результаты ( в минутах): 15, 17, 35, 24, 17, 29, 14, 20, 21, 30. Чтобы найти сколько времени в среднем уходит на выполнение домашнего задания

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям. Уравнение и его корни Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения. Уравнения могут иметь, как

На прошлом уроке мы познакомились (повторили) понятие «Выражение«. Во внимание мы взяли только основу, а именно определение числовых выражений и выражений с переменными, а также затронули тему сравнение выражений. Сегодня мы изучим уже более интересную тему — Преобразование выражений. Свойства действий над числами Как вы помните, надеюсь, существует три основных свойства сложения и умножения чисел:

На предыдущих уроках вы узнали, что такое функция, а также научились строить графики функций. Но функции, как и все другое имеют свою классификацию и на данном уроке мы познакомимся с самой простой функцией. Определение Рассмотрим пример. Пусть — объем деревянного бруска, выраженный в кубических сантиметрах, а — его масса, выраженная в граммах. Любой материал, если

Сегодня, на уроке, мы познакомимся с таким понятием, как функция и попробуем разобраться, что такое график функции и с чем его едят. Тема довольно важная, поэтому, чтобы не упустить никаких деталей я разделю эту тему на два урока. Что такое функция На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. К примеру, площадь круга

Back to top