Тригонометрические функции числового аргумента

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число $fm=.com-98bf1bbb2616edc823c1aa3029abcb84_l3.png&f=t$ ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число $fm=.com-1707da0ca85ce11732b1316f4045db49_l3.png&f=\sin\; t$ . Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу $fm=.com-98bf1bbb2616edc823c1aa3029abcb84_l3.png&f=t$ найти значение $fm=.com-1707da0ca85ce11732b1316f4045db49_l3.png&f=\sin\; t$ , нужно:

расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка $fm=.com-421c717c338c479200f601cff9f9626d_l3.png&f=А$ окружности попала в точку $fm=.com-e1dc93986d2b2fc9b47c8d8bb07dfbe6_l3.png&f=(1; 0)$ ;
на окружности найти точку, соответствующую числу $fm=.com-98bf1bbb2616edc823c1aa3029abcb84_l3.png&f=t$ ;
найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть искомое $fm=.com-1707da0ca85ce11732b1316f4045db49_l3.png&f=\sin\; t$ .

Фактически речь идет о функции $fm=.com-009811a6a738e6c280b0fd4d8ad7a306_l3.png&f=s = \sin\; t$ , где $fm=.com-98bf1bbb2616edc823c1aa3029abcb84_l3.png&f=t$ — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, $fm=.com-510a945635ed4a8b4e855134fd7a1cf7_l3.png&f=\sin\; 0 = 0$ , $fm=.com-a4e869ddf9b323c52625f601bd68fca3_l3.png&f=\sin\; \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: $fm=.com-f8a3a5bd0a6a099c8722fdcc7be484f5_l3.png&f=s=\cos\; t$ , $fm=.com-dae156989c5454288a5299ffa4f3e234_l3.png&f=s = \tan\; t$ , $fm=.com-946a80a1871f6bf5238afb6b886f47ec_l3.png&f=s=\cot\; t$ . Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента $fm=.com-98bf1bbb2616edc823c1aa3029abcb84_l3.png&f=t$ .

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из все тригонометрии — это основное тригонометрическое тождество:

$fm=.com-839e903e654cdb4e7d6356ba74036896_l3.png&f=\boxed {\sin^2\; t + \cos^2 \; t = 1}$

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

$fm=.com-6a074c6a7d57f3841997616d6b40178e_l3.png&f=\boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}$

$fm=.com-9786563286e3c14bcc53d091dc79f8e5_l3.png&f=\boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \not= \pi k}$

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

$fm=.com-dcf37c0e447a794213a7fc36324f1e21_l3.png&f=\boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \not= \frac{\pi k}{2}}$

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) $fm=.com-5b949062dbd233c0ac0ac7f1037031d0_l3.png&f=1+ \tan^2 \; t$ , б) $fm=.com-e7ecd935461563091109f4465142cd57_l3.png&f=1+ \cot^2 \; t$

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

$fm=.com-f81f911b4d176c4c056f97251d743706_l3.png&f=1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:

$fm=.com-074761fd5ce674df023450a013845b88_l3.png&f=1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

$fm=.com-b598ff842ae5e337e9e06ab29a213bcc_l3.png&f= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:
$fm=.com-8ec413511e8ac2c7cc00e2be8576027b_l3.png&f=1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}$

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

$fm=.com-ef2d096c82cb48221f1273b2bd0bf1b1_l3.png&f=1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}$

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

$fm=.com-b29b4287c618e722b22d7b71285895f5_l3.png&f=\boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}$

$fm=.com-a1a636ec29f9bcff5f2890b1cebb8d96_l3.png&f=\boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \not= \pi k}$

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

Уроки по теории вероятности

Синус и косинус

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому

Урок №3 Арифметическая и геометрическая прогрессия

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно! Числовые последовательности Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность): Кратко последовательность обозначают символом {} или (), число называют членом или элементом этой

Урок №2 Элементы логики. Метод математической индукции

Логика также является одним из разделов математики. Подробно во все тонкости данной дисциплины, мы, в мат. анализе вникать, конечно, не будем, но база нам понадобится, а следовательно, данный урок мы посвятим именно ей. Высказывания. Операции над высказываниями Высказывание — это любое утверждение, о котором можно сказать, что оно либо истинно либо ложно. Существует всего пять

Линейная функция и ее график

На прошлом уроке мы рассмотрели прямую пропорциональность и ее график. Сейчас мы рассмотрим уже более сложную функцию, хотя как сложную просто немного посложнее. Рассмотрим примеры функций ПРИМЕР 1 Расстояние между двумя городами (обозначим их А и В) 30 км. Мотоциклист выехал из пункта В, в направлении противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За часов мотоциклист

Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A. Биноминальное распределение В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события (успех) или его не наступление (неудача).

Назначение платежа	доступ
Сумма	руб.
Способ оплаты
	Оплатить