Теорема
Вероятность суммы конечного числа несовместных событий 
равна сумме вероятностей этих событий:
=\sum_{i=1}^{n}P(A_i))
Доказательство
Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий 
и 
.
Пусть событию благоприятствуют 
элементарных исходов,
а событию 
исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию 
благоприятствуют 
элементарных событий из общего числа 
исходов. Отсюда следует, что
=\frac{m_1+m_2}{n}=\frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}=P(A_1)+P(A_2))
,
где )
и )
— соответственно вероятности событий и .
Следствие 1. Если события составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1. Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу 
и 
.
Примеры противоположных событий:
- — попадание при выстреле; — промах при выстреле.
— при бросании кубика выпала шестерка; 
при бросании кубика шестерка не выпала.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
+P(\bar{A})=1)
ПРИМЕР 1. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: =0,2)
, =0,4)
Решение. Так как выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле теоремы вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:
=0,2+0,4=0,6)
Ответ: вероятность равна 0,6 или 60%
ПРИМЕР 2. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.
Решение. Обозначим события — выигрыш не менее 20 рублей, — выигрыш 20 рублей, — выигрыш 100 рублей, ;
— выигрыш 500 рублей.
Очевидно, что события 
попарно несовместны, причем справедливо выражение: 
.
По теореме сложения вероятностей:
=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) = 0,05+0,01+0,001=0,061)
Ответ: вероятность события 0,061 или 6,1%
На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!
Уроки по теории вероятности
Система линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных имеет вид: , где и — числовые коэффициенты. Виды систем линейных уравнений ПРИМЕР №1 Как видно система имеет решение, причем одно единственное, отсюда следует — данная система совместная определенная. Покажем это графически, для этого построим график двух функций и посмотрим, сколько точек пересечения у этих
Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и вообще любое выражение вида , где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения. Формулы приведения
Уравнения в полных дифференциалах Уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если . Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , от которой полный дифференциал равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1)
В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность. Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то
Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное
Загружаем...