Данная тема очень простая, главное правильно понять формулу, а дальше по примерам научиться ей пользоваться.
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.
Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) 
. Вероятности этих гипотез известны и равны, соответственно, , P(H_2),..., P(H_n))
. Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие 
.
Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Фактически нам необходимо найти условную вероятность  \neq 0)
для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей имеем:
=P(A) \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n))
Отсюда,
 \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n))
Разделим на  \neq 0)
левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим
=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{P(A)};i=(1, 2, ..., n))
Выражая )
с помощью формулы полной вероятности получим формулу Байеса:
=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(H_i) \cdot P(A/H_i)}; i=(1, 2, ..., n))
ПРИМЕР 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время t равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?
РЕШЕНИЕ:
Как мы видим из условия, возможны всего 2 гипотезы:
— прибор собран из высококачественных деталей;
— прибор собран из обычных деталей.
До проведения опыта вероятности этих гипотез равны =0,4; P(H_2)=0,6)
. Далее переходим уже к опыту и видим, что в результате наблюдалось событие А — прибор безотказно работал в течении времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах и соответственно равны =0,95; P(A/H_2) = 0,7)
.
Теперь переходим непосредственно к формуле Байеса и находим условную вероятность первой гипотезы:
=\frac{0,4 \cdot 0,95}{0,4 \cdot 0,95 + 0,6 \cdot 0,7} = 0,475)
ОТВЕТ: вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей равна 0,475 или 47,5%.
ПРИМЕР 2. В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар.
а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности.
б) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в из- влечении из урны белого шара.
РЕШЕНИЕ:
а) Для испытания выскажем 4 попарно несовместимые и равновероятные гипотезы:
— в урне 3 белых шара;
— в урне 2 белых и 1 черный шар;
— в урне 2 белый и 2 черных шара;
— в урне 3 черных шара.
Вероятность каждого события равна 0,25 или 25%.
б) Так как по условию извлечен белый шар — событие А, то условные вероятности этого события соответственно равны:
=0; P(A/H_3)=1/3; P(A/H_2)=2/3; P(A/H_1)=1)
Применим формулу Байеса и вычислим:
=\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{2})
;
=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{3})
;
=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{6})
;
=0)
.
ОТВЕТ: вероятность первой гипотезы — 0,5 или 50%, вероятность второй гипотезы — 1/3 или 33,33%, вероятность третьей гипотезы — 1/6 или 16,67%, четвертая гипотеза невозможна и ее вероятность равна нулю.
ПРИМЕР 3. Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?
РЕШЕНИЕ:
В данной задаче у нас 3 гипотезы, соответствующие выбору первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно будут равны:
=15/50; P(H_2)=10/50; P(H_3)=25/50)
По формуле полной вероятности вычислим вероятность события A — выбран правильно оформленный отчет.
=0,9 \cdot 15/50 + 0,8 \cdot 10/50 + 0,85 \cdot 25/50 = 0,855)
Теперь применим формулу Баейса и вычислим вероятность второй гипотезы:
=\frac{0,2 \cdot 0,8}{0,855}=0,19)
ОТВЕТ: вероятность того, что выбранный отчет принадлежит второй организации составляет 0,19 или 19%.
Как вы заметили в решении задач по формуле Байеса нет ничего сложного, главное правильно выбрать гипотезы, что обычно не вызывает затруднения.
В окончании хочу дополнить немного в тему.
Формула Байеса называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.
Уроки по теории вероятности
Теорема Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Доказательство Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и . Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных событий из общего числа исходов. Отсюда следует, что , где и
Система линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных имеет вид: , где и — числовые коэффициенты. Виды систем линейных уравнений ПРИМЕР №1 Как видно система имеет решение, причем одно единственное, отсюда следует — данная система совместная определенная. Покажем это графически, для этого построим график двух функций и посмотрим, сколько точек пересечения у этих
Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и вообще любое выражение вида , где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения. Формулы приведения
Уравнения в полных дифференциалах Уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если . Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , от которой полный дифференциал равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1)
В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность. Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то
Загружаем...