Синус и косинус

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому я решил опустить несколько скучных лекций и приступить сразу к главному.

Определение синуса и косинуса

Итак, в первую очередь, начнем с определения.

Во-первых построим числовую окружность и отметим на ней некоторые точки:

Если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа и обозначают , а ординату точки М называют синусом числа и обозначают .

Итак, судя по нашему рисунку мы видим, что

если , то

Отсюда следует, что

Вспомним, что каждая точка числовой окружности имеет в системе свои координаты, причем для точек:

• первой четверти:
• второй четверти
• третьей четверти:
• четвертой четверти:

Это нам с вами поможет составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности:

	I	II	III	IV
синус	+	+	–	–
косинус	+	–	–	+

В дальнейшем эту таблицу мы с вами продолжим, а также разберемся в каких случаях она применяется.

Основное тригонометрическое тождество

Надеюсь, все вы помните, что уравнение числовой окружности имеет вид:

Тем самым фактически мы можем получить важнейшее равенство, связывающее синус и косинус между собой, а именно:

В дальнейшем мы будем называть это равенство основным тригонометрическим тождеством. А если оно «основное», то знать его нужно всем обязательно, в отличие от большинства других формул тригонометрии.

Ну и последнее, что я хочу сказать по теории, это, конечно, таблицы значений синусов и косинусов, с которыми вы, наверное, уже сталкивались, если изучали курс геометрии.

Но для тех, у кого их нет, я выложу основные из значений:

1 часть таблицы (значения от 0 до 180º):

	0
	0º	30º	45º	60º	90º	120º	135º	150º	180º
sin t	0				1				0
cos t	1				0				–1

2 часть таблицы (значения до 360º):

	210º	225º	240º	270º	300º	315º	330º	360º
sin t				–1				0
cos t				0				1

С теорией покончено, давайте решим несколько примеров:

Решение уравнений и неравенств

ПРИМЕР 1 Вычислить и , если

а) ; б) ; в)

Решение

а) В первую очередь смотрим в таблицу значений синуса и косинуса и видим сразу, что такого значения t там нет, но, как вы должны знать, данная таблица составлена по числовой окружности, поэтому 0º = 360º. Т.е. все значения после будут повторяться. Остается лишь найти, в какой четверти находится .

Имеем,

Если, кому не понято, то вначале я неправильную дробь перевел в смешанное число, а дальше в принципе все понятно, если целая часть четная — то ее опускаем, т.к. будет (), а если нечетная — то в конце концов останется еще и его будем прибавлять к нашей обыкновенной дроби.

Отсюда следует, что числу  соответствует та же точка числовой окружности, что и .

Теперь заглянем в таблицу и видим, что

, а

 

б) Также переписываем неправильную дробь в виде смешанного числа:

;

-12 — четное число, поэтому забываем про него и значения смотрим по второму слагаемому —. В итоге у нас вышло отрицательное число, а значит, отсчитывать значения мы будет по часовой стрелке, т.е. начиная с четвертой четверти, а не с первой. Отсчитав, видим, что   соответствует , (чтобы было понятнее соответствует -60º,  а 360º — 60º = 300º, поэтому и смотрим ответ у , значит,

,  

 

в) Здесь все вообще супер — просто. . Как видите, в значении целая часть и причем она четная, а это значит, она будет соответствовать значению . Как видим представленное значение t соответствует значению нуля, т.е.

.

ПРИМЕР 2 Решить уравнение:

Решение:

Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой и записать, каким числам t они соответствуют.

В нашем случае, если посмотреть в таблицу мы видим, что данной ординате соответствуют точки и

Следовательно,

Ответ: ;

Как вы, надеюсь, понимаете с косинусом все будет наоборот, вы будете искать значение абсциссы (т.е. в таблице смотреть значения косинуса).

С уравнениями, думаю, все понятно. Перейдем к неравенствам. С ними обстоят дела похоже, но кое-чем отличаются.

ПРИМЕР 3 Решить неравенство

Решение:

Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точку с абсциссой и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая  пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству же соответствуют все точки открытой дуги (т.е. все что находится между этими точками пересечения). Согласно таблице, это точки и . Получается, решением неравенства будут все точки, входящие в данный интервал.

Ответ:  .

Завершая в данном уроке разговор о синусе и косинусе хотел бы вам также представить еще несколько важных формул, которые справедливы для любого значения t.

1. sin (-t) = -sin t;  cos (-t) = cos t

К примеру,

2. sin (t + 2πk) = sin t;  cos (t + 2πk) = cos t

Это очевидно, так как 2π — это период функции, равный одному кругу, а k  — это количество таких периодов. И вы, уже должны были понять, что, когда первый круг заканчивается 360º, то все начинается сначала, т.е. 390º будут соответствовать 30º

3. sin (t + π) = -sin t; cos (t + π) = -cos t

Это также очевидно, если вы внимательно изучали таблицу, то заметили, что значения после половины периода π соответствуют другому периоду, но с противоположным знаком.

4. sin (t + = cos t; cos (t + = -sin t

Также, если внимательно изучали таблицу, то и эту закономерность вы должны были заметить.

Ну вот с основными закономерностями таблицы синусов и косинусов мы ознакомились и на этом можно заканчивать.

 

Всем спасибо, если есть вопросы по теме пишите, обязательно отвечу!!!