Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/N. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в нижеследующих экспериментах.

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».
17
Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, «бросание» шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее:

1. исход опыта является случайным;
2. имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов;
3. все эти исходы равновероятны. В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле:

      1.12

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов; — число тех из них, которые приводят к событию А.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение. Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

В карточной колоде имеется ровно четыре туза и число различных комбинаций, дающих два туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

И окончательно получаем,

Ответ: вероятность примерно равна 0,012 или 1,2%.

ПРИМЕР 2. Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры «играющему» приходится учитывать возможность образования у одного из «вистующих» – противников комбинации из трех оставшихся «червей». Какова вероятность этого события?

Решение. У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Отсюда следует

Вероятность появления третьей дамы у любого из «вистующих», очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 3. В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся исправными? 

Решение.

Введем следующие обозначения:

N = 30 — общее число машинок;

n = 20 — число исправных машинок;

m = 5 — отобранных в партию (подмножество) машинок;

k = 3 — число исправных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок равно числу сочетаний из N элементов по m, т.е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три исправные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k , т.е. . С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) . Согласно формуле (1.12), представленной вначале урока окончательно получаем:

       1.13

Теперь подставим численные значения и вычислим, наконец, нашу вероятность.

Ответ: вероятность наступления данного события примерно 0,36 или 36%

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

 

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!