Изучение теории вероятностей всегда начинается с комбинаторики, ведь именно она составляет начальную базу, необходимую для дальнейшего углубления материала.
Правило произведения и суммы
Правило произведения. Если элемент 
строки (
) можно выбрать 
способами и после каждого такого выбора элемент 
можно выбрать 
– способами, и после выбора и элемент 
можно выбрать 
способами и т.д., наконец, 
независимо от выбора всех предыдущих элементов можно выбрать 
способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки () равно:
ПРИМЕР 1.
Условие: Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо – 4, а третье блюдо – 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?
Решение. При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика), и учтем, что строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать пятью различными способами, второе – четырьмя различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать 
различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:
Ответ: 60 дней
Правило суммы. Пусть множество 
содержит элемент, множество 
элементов, …, и множество 
элементов. И если эти множества попарно не пересекаются (нет одинаковых элементов), то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:
Основные правила комбинаторики
Правило перестановки. Пусть }=\left\{ {x_1,x_2,...,x_n} \right\}})
— произвольное (неупорядоченное) 
— элементов множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов, и называются перестановками из -элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом 
и находится по формуле:
 \cdot n}})
ПРИМЕР 2.
Условие: Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за столом. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами (изменился порядок)?
Решение. При решении данной задачи, учитывая, что за столом всегда сидят все 5 гостей, применим правило перестановки:
Ответ: 120 способов
Правило размещения. Различные упорядоченные m – элементные подмножества данного неупорядоченного множества } (m < n)})
называются размещениями из n элементов по m. Число таких размещений обозначается 
и вычисляется по формуле:
!}=n(n-1).....(n-m+1)}})
ПРИМЕР 3.
Условие: Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?
Решение. Согласно условию данной задачи награды получат только три финалиста из десяти, а ценность медалей различна, т.е. порядок призеров имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило размещений:
Ответ: 720 способов
Правило сочетания. Различные неупорядоченные m – элементные подмножества множества называются сочетаниями из n элементов по m. Число всех таких сочетаний обозначается символом 
и определяется по формуле:
!}}})
ПРИМЕР 4.
Условие: В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов. Три спортсмена, показавшие лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?
Решение. По условию задачи в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило сочетаний:
Ответ: 120 троек
Примечания:
Размещения из n-элементов по m представляют собой такие m – элементные выборки из неупорядоченного множества }})
, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Сочетания же из n-элементов по m представляет собой m – элементные выборки, отличающиеся только самими элементами. (редакция)
Правила с повторениями
Правило размещения с повторениями. Любая строка длиной m, составленная из элементов множества , причем элементы в строке могут повторяться, называется размещением с повторением из n-элементов по m. Число всех размещений с повторениями обозначается символом 
и вычисляется по формуле:
1.7
ПРИМЕР 5. Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?
Решение. Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10 – элементного массива цифр, т.е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4. Следовательно, общее число таких элементов равно 
. Исключим из выборки номер 00-00, если он недопустим. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется 
числом способов. Так как номер каждой машины есть упорядоченная «пара», состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно:
*28^3=219 498 048)
Ответ: 219 498 048 машин
Правило сочетания с повторениями. Рассмотрим сочетания из n элементов по m и предположим, что в комбинации возможны повторения. В этом случае выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из n элементов, но и еще до (m – 1) раза одного из этих элементов. В этом случае общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до (
) элементов. Следовательно, число сочетаний из n элементов по m с повторениями определяется по формуле:
1.8
ПРИМЕР 6. В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?
Решение. Очевидно, что цветы одного наименования могут повторяться в букете, и так как порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:
Ответ: 2002 комбинации
Правило перестановки с повторениями. Рассмотрим перестановки, содержащие одинаковые элементы. Например, в перестановках из n элементов имеются k различных элементов (k < n). При этом первый элемент встречается 
раз. Это означает, что общее число перестановок должно быть уменьшено в 
раз, так как взаимные перестановки одного и того же элемента равнозначны.
Аналогично происходит и с остальными элементами, которые могут встречаться 
раз, причем 
. Поэтому общее число перестановок с повторениями рассчитывается по формуле:
=\frac{n!}{n_1!*n_2!*...*n_k!})
1.9
ПРИМЕР 7. Имеется шестизначная кодовая комбинация, состоящая из трех цифр 1, 3, 5, в которой цифра 1 встречается один раз, цифра 3 – два раза и цифра 5 – три раза. Сколько существует комбинаций таких наборов?
Решение. В данном случае имеют место перестановки с повторениями. Их число будет равно
=\frac{6!}{1!*2!*3!}=60)
Ответ: 60 комбинаций
Ну что же поздравляю тех терпеливых, которые дошли до сюда. Уверяю вас 90% не дошли, а вы тот самый счастливчик, который вошел в 10%. На этой ноте данную тему считаю законченной. Еще увидимся, Всем спасибо!
Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.
Уроки по теории вероятности
Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения. Теоретическая часть Однородные уравнения могут быть записаны в виде , а также в виде , где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену , после чего получается уравнение
Данная тема будет полезна тем, кто хочет в дальнейшем подробно изучать предмет «Математическая статистика», ну и, конечно, для самых любознательных. Среднее арифметическое Десять учеников засекли время выполнения домашнего задания и получили результаты ( в минутах): 15, 17, 35, 24, 17, 29, 14, 20, 21, 30. Чтобы найти сколько времени в среднем уходит на выполнение домашнего задания
На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям. Уравнение и его корни Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения. Уравнения могут иметь, как
На прошлом уроке мы познакомились (повторили) понятие «Выражение«. Во внимание мы взяли только основу, а именно определение числовых выражений и выражений с переменными, а также затронули тему сравнение выражений. Сегодня мы изучим уже более интересную тему — Преобразование выражений. Свойства действий над числами Как вы помните, надеюсь, существует три основных свойства сложения и умножения чисел:
На предыдущих уроках вы узнали, что такое функция, а также научились строить графики функций. Но функции, как и все другое имеют свою классификацию и на данном уроке мы познакомимся с самой простой функцией. Определение Рассмотрим пример. Пусть — объем деревянного бруска, выраженный в кубических сантиметрах, а — его масса, выраженная в граммах. Любой материал, если
Загружаем...