При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения.
Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A.
ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа очков. Стало известно, что произошло событие B, состоящее в выпадении числа очков меньше четырех. Определить вероятность события A при условии, что наступило событие B.
Решение. Пространство элементарных исходов при бросании игральной кости определяется шестью исходами U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Известно, что произошло событие B, которому благоприятствуют три исхода 
= {1, 2, 3}. В этих условиях вероятность события А равна 
, так как событию А благоприятствует исход {2} из = {1, 2, 3}.
Условная вероятность
Определение. Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие B, называется отношение числа k тех благоприятствующих A исходов, которые и благоприятствуют B, к числу m всех исходов, благоприятствующих B.
Условная вероятность обозначается P(A|B)
По определению =\frac{k}{m})
; если B — невозможное событие, то P(A|B) не определена.
Заметим, что =\frac{k/n}{m/n})
, но =\frac{k}{n})
, =\frac{m}{n})
.
Поэтому
=\frac{P(AB)}{P(B)})
Эта формула служит для определения условий вероятности в общем случае. Вероятности )
и )
, называются безусловными.
Свойства условных вероятностей
- Всегда 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, причем P(A|B) = 0, если А — невозможное событие, и P(A|B) = 1, если А ⊂ B (A включено в B)
- Если C = A∪B и A∩B = Ø, то для любого события D:
+P(B/D)=P(C/D))
- Если
— событие противоположное 
, то =1-P(\bar{A}|B))
ПРИМЕР 2. Изучается качество техобслуживания, обеспечиваемое пятьюдесятью автомеханиками в определенном городе. Результаты изучения представлены в таблице.
| Хорошее обслуживание | Плохое обслуживание | |
| Стаж работы более 10 лет | 16 | 4 |
| Стаж работы менее 10 лет | 10 | 20 |
1. Какова вероятность, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили?
2. Если автомеханик случайно выбран и его стаж более 10 лет, то какова вероятность, что он хорошо обслуживает автомобили?
Решение
1. В данном случае объем выборочного пространства 
. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомашины. Используя данные из таблицы, имеем 
Тогда вероятность события A
=\frac{26}{50}=0,52)
2. Пусть событие B состоит в том, что выбранный механик имеет стаж более 10 лет. В данном случае объем выборочного пространства уменьшается, он равен сумме элементов первой строки: 
. Число благоприятных для события исходов 
, поэтому
=\frac{16}{20}=0,8)
Ответ: вероятность того, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили равна 0,52 или 52%
Вероятность того, что автомеханик со стажем более 10 лет хорошо обслуживает автомобили равна 0,8 или 80%.
ПРИМЕР 3. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что выбранный случайным образом механик проработал менее 10 лет и хорошо обслуживает автомобили.
Решение. Пусть D – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие C состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной вероятности )
используем формулу
=\frac{P(CD}{P(D)})
Отсюда
=\frac{10}{30}=\frac{1}{3})
Ответ: вероятность равна примерно 0,3333… или 33,33%
Если обе стороны равенства, определяемого формулой , умножить на , то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:
=P(B) \cdot P(A|B))
Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами и 
и использовать факт, что A∩B = B∩A, получаем следующее:
=P(A) \cdot P(B|A))
Независимость событий
Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.
Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
ПРИМЕР 4. Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события: A – появления герба на первой монете; B – появление герба на второй монете.
Решение. Очевидно, событие A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A независимо от события B.
ПРИМЕР 5. В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события: A – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека.
Решение. Вероятность события A равна 2/3. Если стало известно, что событие A произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события B становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие B зависит от события A.
Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место другое событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается: )
.
Для ПРИМЕРА 5. =\frac{2}{3}; P(B/A)=\frac{1}{2})
Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение
=P(A))
верно, то события A и B называются независимыми.
Если верно выражение
)
≠ )
,
то события A и B называются зависимыми.
Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится a белых и b черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события – независимые.
Загружаем...