Урок №4 Линейные уравнения первого порядка

Теоретическая часть

Уравнение

          (1)

называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение

              (2)

(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х).

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.

Пример №1 Привести уравнение к линейному виду.

Данное уравнение, в котором  является функцией от — нелинейное.

Запишем его в дифференциалах:

Так как в это уравнение и входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а — независимым переменным.

Тогда уравнение можно представить в виде:

И решается данное уравнение аналогично (1).

Пример №2 Решить уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли: , где n≠1.

Чтобы решить данное уравнение нужно обе части разделить на , получаем:

.

Далее делаем замену: , получаем:

Теперь подставим это в выражение и получим:

.

Избавившись от знаменателя мы получаем линейное уравнение, которое решается аналогично (1).

Пример №3 Решить уравнение Риккати.

Уравнение Риккати имеет вид:

Данное уравнение не решается в квадратурах.

Если же известно, одно частное решение , то делается замена .

Выполнив замену, мы получаем уравнение Бернулли, о котором мы говорили в предыдущем примере.

---

Кстати, иногда частное решение можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего ).

Существуют и другие способы решения линейных уравнений первого порядка, но мы рассмотрели самые удобные и простые в расчетах.

Пример №4 Решить уравнение

В первую очередь решим соответствующее однородное уравнение (о том как они решаются можно посмотреть в предыдущем уроке):

.

Общее решение нашего однородного уравнения имеет вид:

.

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной (то, о чем мы говорили в самом начале урока) и получаем:

или сделав преобразование получим:

.

И отсюда находим С(х):

И окончательный ответ:

Пример №5 Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x²y’ + xy + x²y² = 4.

Ищем частное решение в виде

, где — постоянная.

Подставив частное решение в уравнение получаем:

.

Решив неполное квадратное уравнение, получаем

и

Пускай a = 2, тогда, произведя замену: получаем линейное уравнение:

.

Проинтегрировав полученное уравнение, находим:

.

Следовательно общее решение уравнения принимает вид:

Частное решение получается из общего при С = ∞.