Однородные уравнения

Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения.

Теоретическая часть

Однородные уравнения могут быть записаны в виде , а также в виде , где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену , после чего получается уравнение с разделяющимися переменными, которые мы с вами научились вычислять на прошлом уроке.

Пример №1 Решить уравнение:

Так как это однородное уравнение, то сделаем замену , тогда . Подставив это в наше уравнение, получим:

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, так давайте решим его теперь:

Делаем обратную замену:

Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .

---

 

Уравнение вида приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и .

Если же эти прямые не пересекаются, то ; следовательно. уравнение имеет вид и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой (или ).

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой . Число m обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному данным способом.

Пример №2 Определить можно ли привести уравнение к однородному виду.

Дано уравнение и нам нужно определить можно ли его привести к однородному виду и какую замену для этого нужно сделать.

После замены уравнение принимает вид:

Это уравнение будет однородным если его степени всех его членов равны между собой, т.е. .

Найдем при каком значении все три равенства удовлетворяются.

Во, первых проще всего найти из двух последних значений:

, отсюда

Значение мы нашли, но будет ли оно удовлетворять первому значению, проверим, подставив значение:

Все три равенства удовлетворяются, а значит, наше уравнение можно привести к однородному виду заменой

---

 

C теорией на сегодня все, тема легкая и, думаю, что понятная, но на всякий случай решим еще один пример:

Пример №3 Решить уравнение:

Допустим , тогда получим

⇒ функции и однородны лишь при одном условии:

, т.е. при

Таким образом, в случае y ≥ 0 делаем замену y=√z. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

Делаем еще одну замену: и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Проинтегрировав его (не буду расписывать, надеюсь это вы умеете, если нет, то найдите урок про интегрирование функций) получаем:

Делаем обратную замену:

Решение уравнения y=0 входит в полученное семейство при C = ∞.

Пример №4 

Сделаем замену: , тогда , получаем:

Раскроем скобки и упростим:

Запишем в дифференциалах:

Продифференцировав, получаем:

Упростим:

Найдем :

Делаем обратную замену:

Ответ:

Пример №5

Найдем точки пересечения прямых, для этого решается система уравнений (надеюсь расписывать не нужно, если изучаете дифуры, то школьную базу вы и так должны знать).

Так вот решив систему уравнений, состоящую из двух уравнений и мы выясняем, что точек пересечения нет, а если прямые не пересекаются, то вывод один — они параллельны и если построить график, то вы в этом убедитесь.

Так вот если прямые параллельны, то замену, которую мы проводили при решении примеров в параграфе мы не можем. Однако, в силу того, что коэффициенты y и x пропорциональны можем положить,что

И тогда

и исходное уравнение принимает вид:

Интегрируя это уравнение получаем

Ответ: