На прошлом уроке мы рассмотрели теорему сложения вероятностей только для несовместных событий. В случае, когда два события A и B – совместны, справедлива следующая теорема.
Теорема
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
=P(A)-P(B)-P(AB))
(1)
Доказательство
Событие 
наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: 
. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
=P(A\bar{B})-P(\bar{A}B)+P(AB))
(2)
Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: 
. Вновь применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем =P(A\bar{B})+P(AB))
, откуда
=P(A)-P(AB))
. (3)
Аналогично для события B: =P(\bar{A}B)+P(AB))
, откуда
=P(B)-P(AB))
(4)
Теперь подставим (3) и (4) в формулу (2), отсюда получаем формулу сложения вероятностей совместных событий (1).
Как вы уже поняли формула, которую я дал вам на прошлом уроке это лишь частный случай формулы (1). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность суммы трех совместных событий
Аналогично выражению (1) запишем вероятность суммы трех совместных событий:
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC))
(5)
Кстати, справедливость формул (1) и (5) можно наглядно проиллюстрировать:
Также из выражения (1) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Выходит:
=P(A)+P(B)-P(A+B))
(6)
ПРИМЕР 1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
Решение. Обозначим события: 
— появление шестерки на первой кости, 
— на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.
а) Для вычислений воспользуемся формулой (1). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а для вычисления числа всех равновозможных комбинаций используем правило произведения (комбинаторика):
=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{11}{36})
б) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:
=1-P(\bar{A+B})=1-P(\bar{A}*\bar{B})=1-\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36})
Ответ: вероятность появления хоть одной шестерки равна 11/36 или 0,3056 или 30,56%
На этом все! Всем Спасибо!
Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.
Уроки по теории вероятности
Теорема Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Доказательство Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события равна . Произведению событий и благоприятствуют только
Данная тема очень простая, главное правильно понять формулу, а дальше по примерам научиться ей пользоваться. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса. Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез известны и равны, соответственно, . Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие . Спрашивается, как
Теорема Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Доказательство Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и . Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных событий из общего числа исходов. Отсюда следует, что , где и
Система линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных имеет вид: , где и — числовые коэффициенты. Виды систем линейных уравнений ПРИМЕР №1 Как видно система имеет решение, причем одно единственное, отсюда следует — данная система совместная определенная. Покажем это графически, для этого построим график двух функций и посмотрим, сколько точек пересечения у этих
Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и вообще любое выражение вида , где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения. Формулы приведения
Загружаем...