Обратная матрица


Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Обратная матрица

Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие:

, для всех , где и — элементы матриц и соответственно.

Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами.

Пример №1 Транспонировать матрицу А

матрица А 25452

Как я написал выше, транспонировать матрицу, значит, записать строки столбцами, а столбцы строками, т.е. первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и т.д.

Получаем,

транспонировання матрица А

И на этом, все — ничего ведь сложного? правда?

Свойства транспонированной матрицы А:

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если А — невырожденная матрица, то существует и при том единственная матрица такая, что

, где

E — единичная матрица.

Матрица называется обратной к матрице А.

К большому сожалению найти обратную матрицу — это не значит поменять знаки на противоположные)) — это целый комплекс вычислений.

Мы с вами рассмотрим два основных метода решения обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы

Присоединенная (союзная) матрица определяется, как транспонированная к матрице, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Справедливо равенство:

⇒ если А — невырожденная матрица, то

Пример №2 Найти обратную матрицу А

матрица А 559

В первую очередь, мы должны доказать, что матрица — невырожденная, а значит, вычислим определитель:

det A = 0+6+16-0-30+4 = -4 ≠ 0 — матрица невырожденная.

Теперь находим присоединенную матрицу, а здесь. ВНИМАНИЕ.

Чтобы найти первый член присоединенной матрицы, т.е. нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец и найти определитель оставшейся части:

матрицыапва

Т.е. цифры над буквой А, обозначают не только место определителя в присоединенной матрице, но и какую строку и какой столбец нужно вычеркнуть из исходной, (1 цифра — строка, 2 цифра — столбец) и, конечно, определяют знак матрицы.

Для наглядности также распишу, как найти второй член :

матриц 595

Теперь, я думаю, принцип вам понятен.

Для большего удобства предлагаю вам записывать результаты на листе, также как они строят в матрице:

    Собрав все полученные числа и расставив их по своим местам, получаем матрицу:

 матрица 7454

Но согласно определению, нам требуется транспонированная матрица, поэтому делаем это преобразование и получаем союзную матрицу:

союзная матрица

Ну и последний штрих, чтобы найти обратную матрицу нужно каждый член союзной матрицы разделить на определитель исходной матрицы (который мы находили в самом начале, т.е. на -4):

обратная матрица 87898обратная матрица

Это и будет наш ответ, при желании сделать проверку нужно перемножить главную матрицу на обратную и если в результате получается единичная матрица — то решение верное!

Метод элементарных преобразований

Данный метод еще называют методом Гаусса и мы будем его еще применять при решении систем линейных уравнений.

К элементарным преобразования относятся:

  1. перестановки строк (столбцов);
  2. умножение строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.

Пример №3 Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований

матрица 548989

Составляем расширенную матрицу :

расширенная матрица 555415

Теперь наша задача состоит в том, чтобы первая часть матрицы (до черты) стала единичной, т.е. принимают значение , а остальные значение .

Займемся первым столбцом

Число в первой строке нужно превратить в для этого всю строку умножим на .

Чтобы во второй строке получить нужно из второй строки отнять первую строку, предварительно умноженную на .

Чтобы в третьей строке получить нужно из третьей строки вычесть вторую строку, предварительно умноженную на .

Все действия делаем от исходной расширенной матрицы, получаем:

45455

Первый столбец теперь соответствует единичной матрице, поэтому

Займемся вторым столбцом

Теперь мы работаем уже с полученной матрицей, после преобразований первого столбца.

Чтобы в первой строке получить мы из первой строки отнимем вторую строку, предварительно умноженную на .

Чтобы во второй строке получить мы домножим вторую строку на .

Чтобы в третьей строке получить мы к третьей строке прибавим вторую строку, предварительно умноженную на

Выполнив данные действия, получаем:

матрица преобр 2

Работаем дальше с третьим столбцом:

Чтобы в первой строке получить нужно из третьей строки вычесть первую строку, предварительно умножив на .

Чтобы получить во второй строке нужно к третьей строке прибавить вторую строку, предварительно умножив на .

Чтобы в третьей строке получить нужно домножить третью строку на .

Получаем:

матрица преобр 3

В первой части матрицы мы получили единичную матрицу, а вторая часть матрицы (после черты) и будет нашей обратной матрицей:

обратная мрица 4994

Оба способа нахождения обратной матрицы, довольно простые, если в них вникнуть, самое главное — не допустить ошибок в вычислениях, а остальное придет со временем.

Уроки по теории вероятности

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Тригонометрические функции числового аргумента Какое бы действительное число ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число . Правда, правило соответствия

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно! Числовые последовательности Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность): Кратко последовательность обозначают символом {} или (), число называют членом или элементом этой

Логика также является одним из разделов математики. Подробно во все тонкости данной дисциплины, мы, в мат. анализе вникать, конечно, не будем, но база нам понадобится, а следовательно, данный урок мы посвятим именно ей. Высказывания. Операции над высказываниями Высказывание — это любое утверждение, о котором можно сказать, что оно либо истинно либо ложно. Существует всего пять

На прошлом уроке мы рассмотрели прямую пропорциональность и ее график. Сейчас мы рассмотрим уже более сложную функцию, хотя как сложную просто немного посложнее. Рассмотрим примеры функций ПРИМЕР 1 Расстояние между двумя городами (обозначим их А и В) 30 км. Мотоциклист выехал из пункта В, в направлении противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За часов мотоциклист

Back to top