Теорема сложения вероятностей несовместных событий


Теорема

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство

Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и

Пусть событию  благоприятствуют  элементарных исходов,
а событию исходов. Так как события  и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных событий из общего числа исходов. Отсюда следует, что

,

где и — соответственно вероятности событий и .

Следствие 1. Если события  составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1. Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу и

Примеры противоположных событий:

  1. — попадание при выстреле; — промах при выстреле.
  2. — при бросании кубика выпала шестерка; при бросании кубика шестерка не выпала. 

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

ПРИМЕР 1. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: ,

Решение. Так как выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле теоремы вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

Ответ: вероятность равна 0,6 или 60%

ПРИМЕР 2. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение. Обозначим события — выигрыш не менее 20 рублей, — выигрыш 20 рублей, — выигрыш 100 рублей, ; — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события  попарно несовместны, причем справедливо выражение: .

По теореме сложения вероятностей:

Ответ: вероятность события 0,061 или 6,1%

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!

 

Уроки по теории вероятности

Система линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных имеет вид:     , где и — числовые коэффициенты. Виды систем линейных уравнений ПРИМЕР №1     Как видно система имеет решение, причем одно единственное, отсюда следует — данная система совместная определенная. Покажем это графически, для этого построим график двух функций и посмотрим, сколько точек пересечения у этих

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и вообще любое выражение вида , где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения. Формулы приведения

Уравнения в полных дифференциалах Уравнение         (1) есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если . Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , от которой полный дифференциал равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1)

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность. Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то

Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное

Back to top