Основы математической теории выборочного метода Задачи с решениями


  • Генеральная совокупность. Выборки.
  • Понятие оценки. Точечные оценки.
  • Несмещенные, смещенные, состоятельные, эффективные оценки.
  • Методы нахождения оценок.
  • Методы сумм и произведений расчета сводных характеристик выборки.
  • Оценка параметров генеральной совокупности по выборке.
  • Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше.
  • Интервальные оценки. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.
  • Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi 12 14 16 18 20 22
ni 5 15 50 16 10 4

Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
ni 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5

Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество xi сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота ni - число проб, содержащих xi семян сорняков):

xi 0 1 2 3 4 5 6
ni 405 366 175 40 8 4 2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество xi нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота ni - число партий, содержащих xi , нестандартных изделий):

xi 0 1 2 3 4
ni 132 43 20 3 2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ, распределения Пуассона.

Найти методом моментов по выборке x1, x2, ...., xn точечную оценку параметра p биномиального распределения:

 

где xi – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Случайная величина X (число появлений события A в n независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число xi появлений события A в одном опыте; во второй строке указана частота ni - количество опытов, в которых наблюдалось X; появлений события A):

xi 0 1 2 3 4
ni 5 2 1 1 1

Найти методом моментов точечную оценку параметра p биномиального распределения.

Найти методом моментов по выборке х1, х2,..., xn точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

f(x)=λe-λx (x≥0).

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время xi - работы элемента в часах; во второй строке указана частота ni - количество элементов, проработавших в среднем xi часов):

xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
ni 133 45 15 4 2 1

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Найти методом моментов точечную оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=хi)=(1—p)xi-1∙p,

где xi - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом моментов оценку параметра p (вероятности) геометрического распределения

Р(Х=хi)=(1—p)xi-1∙p,

если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров α и β, которыми определяется гамма-распределение.

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

f(x)=(1/(σ∙√2π))∙e-(x-a)^2/(2σ^2).

Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами a и σ. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала n=200 изделий (в первой строке указано отклонение xi (мм); во второй строке приведена частота ni - количество изделий, имеющих отклонение xi):

Таблица параметров задачи

 

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и σ нормального распределения.

Найти методом моментов по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения, плотность которого

f(x)=1/(b-a), (b>a).

Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами a и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка xi; во второй строке указана частота ni - количество измерений, имеющих среднюю ошибку xi):

Таблица параметров задачи

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров a и b равномерного распределения.

Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:

P(X=xi)=1/2∙( λ1xi∙e1)/(xi!)+ 1/2∙( λ2xi∙e2)/(xi!).

Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n=327 испытаниях (в первой строке указано число xi появлений события; во второй строке приведена частота ni - количество испытаний, в которых появилось xi событий):

Таблица значений задачи

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров λ1 и λ2 «двойного распределения» Пуассона.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события A в 1000 испытаниях (в первой строке указано число xi появлений события в одном опыте из m=10 испытаний, во второй строке приведена частота ni - число опытов, в которых наблюдалось xi появлений события A):

Таблица значений задачи

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра p биномиального распределения.

Случайная величина X (число появлений события A в m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром λ:

Pm(X=xi)=λxi ∙e/xi!,

где m – количество испытаний в одном опыте, xi – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n). Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром λ. Ниже приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество xi поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота ni - число контейнеров, содержащих xi поврежденных изделий):

Таблица значений задачи

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ распределения Пуассона.

Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f(x)= λe-λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время xi безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота ni - количество элементов, проработавших в среднем xi часов):

Таблица значений задачи

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра β гамма-распределения (параметр α известен), плотность которого

f(x)=1/( βα+1∙Г(α+1) )∙xα∙e-x/β ((α>-1, β>0,x≥0).

Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра β гамма-распределения, если второй параметр этого распределения α=1,12.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра p геометрического распределения:

P(X=xi)=(1-p)xi-1∙p,

где xi - число испытаний, произведенных до появления события; p - вероятность появления события в одном испытании.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра a (параметр σ известен) распределения Кептейна, плотность которого

f(x)=[g'(x)/(σ√2π)]∙e-[g(x)-a]^2/(2σ^2),

где g(x) – дифференцируемая функция.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечную оценку неизвестного параметра σ (параметр a известен) распределения Кептейна, плотность которого

f(x)=[g'(x)/(σ√2π)]∙e-[g(x)-a]^2/(2σ^2),

где g(x) – дифференцируемая функция.

Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема n=100:

а)

Таблица значений задачи

б)

Таблица значений задачи

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке x1, x2,…, xn точечные оценки параметров a и σ нормального распределения, плотность которого

f(x)=1/(σ√2π)∙e-(x-a)^2/(2σ^2).

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известно генеральное среднее квадратическое отклонение, выборочная средняя и объем выборки: а) σ=4, выборочная средняя равна 10,2, n=16; б) σ=5, выборочная средняя равна 16,8, n=25.

Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений σ=40м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния a до цели с надежностью γ=0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений 2000м.

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности a горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ=40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ=2мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ=1,5.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12:

Таблица значений задачи

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.

По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений равное 42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ=0,999.

По данным выборки объема n из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999, если: а) n=10, s=5,1; б) n=50, s=14.

Back to top