Дискретные случайные величины и их характеристики Задачи с решениями

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

 

X	1	3	6	8
p	0,2	0,1	0,4	0,3

 

Построить многоугольник распределения.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

а)

X	-4	6	10
p	0,2	0,3	0,5

б)

X	0,21	0,54	0,61
p	0,1	0,5	0,4

 

Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: a) Z=X+2Y, М(X)=5, M(Y)=3; б) Z=3X+4Y, М(X)=2, M(Y)=6.

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=-1, х₂=0, x₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=0,1, M(X²)=0,9. Найти вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным значениям x₁, x₂, x₃.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

События А₁, А₂, ..., А_n несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p₁, p₂ , ..., p_n. Если в итоге испытания появляется событие A_i (i = 1, 2, ..., n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение x_i, равное вероятности p_i появления события А_i. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.

Доказать, что если случайные величины X₁, X₂,..., Х_n независимы, положительны и одинаково распределены, то

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	...	k	...
p				...		...

Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(Х)=5, D(Y)=6.

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x₁ и x₂, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату полуразности возможных значений:

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Найти дисперсию дискретной случайной величины X - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(X)=1,2.

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и х₂, причем х₂>х₁. Вероятность того, что X примет значение x₁ равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4; D(X)=0,24.

Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Вероятность наступления события в каждом испытании равна p (0<p<1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа испытаний, которые надо произвести до появления события; б) дисперсию величины X.

Доказать неравенство , где х_i и x_k - любые два возможных значения случайной величины X.

Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные а и b, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями: .

Доказать, что если X и Y—независимые случайные величины, то D(XY)=D(X)∙D(Y)+n²D(X)+m²D(Y), где m=M(X), n=M(Y).

Найти дисперсию дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	...	k	...
p				...		...

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3
p	0,4	0,6

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	2	4
p	0,1	0,3	0,6

Найти начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством: .

Пусть X=X₁+X₂, где X₁ и Х₂ — независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные μ₃¹ и μ₃². Доказать, что μ₃= μ₃¹+ μ₃² - центральный момент третьего порядка величины X.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	2	4	7
p	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

В лотерее разыгрываются: автомобиль стоимостью 5000 ден.ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден.ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден.ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден.ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и В, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Дана случайная величина X:

xi	-2	1	2
pj	0,5	0,3	0,2

Найти закон распределения случайных величин: а) Y = 3X, б) Z = X².

Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X:

xi	0	2	4
pi	0,5	0,2	0,3

Y:

yi	-2	0	2
pj	0,1	0,6	0,2

Найти закон распределения случайных величин: а) Z=Х-Y; б) U = XY.

Вычислить М(Х) и M(Y) в задаче о стрелках. Известны законы распределения случайных величин X и Y - числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
pi	0,15	0,11	0,04	0,05	0,04	0,10	0,10	0,04	0,05	0,12	0,20

 

Вычислить М(Х) для случайной величины Х чистого выигрыша по данным примера 3.1: В лотерее разыгрываются: автомобиль стоимостью 5000 ден.ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден.ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден.ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден.ед.

Найти математическое ожидание случайной величины Z=8Х-5Y+7, если известно, что М(Х)=3, М(Y)=2.