Матрица и операции над ней

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины.

Определение матрицы

Матрицей  размерности называется прямоугольная таблица чисел, содержащая — строк и — столбцов, число расположенное в -ой строке и -столбце обозначается и называется элементом матрицы , т. е.

Операции над матрицами

Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами:

• сумма матриц;
• произведение матрицы на число;
• произведение матриц;
• транспонирование матрицы

Сумма матриц

Сумма матриц и называется матрица такая, что , где 

Рассмотрим пример, чтобы стало понятнее.

ПРИМЕР 1. Найди сумму матриц А и В.

,

Как ясно из определения, чтобы найти сумму двух матриц нужно просто каждый элемент одной матрицы сложить с каждый элементом второй матрицы.

Как видите здесь сложного абсолютно ничего нет, так можно складывать и три и более матриц.

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы  на число называется матрица  такая, что , где

Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2. Умножь матрицу А на число 2.

;

Эта операция, наверное, еще проще предыдущей. Нужно просто число умножить на каждый элемент матрицы А.

Произведение двух матриц

Произведением матрицы на матрицу  называется матрица такая, что

Условие: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, иначе умножение невозможно!

Здесь уже более сложно так, что будьте внимательны. Чтобы сперва понять, возьмем пример самый простой с квадратными матрицами второго порядка.

ПРИМЕР 3. Вычислить произведение двух матриц.

;

Сразу, я вам не советую составлять матрицы, а делать все постепенно, подробно расписывая. Потом, когда приловчитесь, будете записывать все кратко и большинство действий проделывать в голове.

Поэтому по-порядку, распишем каждое получаемое число:

Если записываете данные вычисления в тетради, то не забудьте выделить с обоих сторон фигурными скобками, обозначая отступление от решения { }.

Теперь можно записать получившуюся матрицу С, не забывайте — первое число элемента матрицы — это строка, второе число — столбец.

В итоге, получаем

ЗАПОМНИТЕ!  При умножении матриц НЕ действует закон коммутативности (от перестановки мест множителей произведение не меняется). В матрицах произведение меняется, т. е. у вас не получится поменять местами две матрицы.

Так, думаю, стоит рассмотреть еще один пример на умножение, но уже по-сложнее, к примеру, третьей размерности возьмем матрицы.

ПРИМЕР 4. Вычислить произведение двух матриц.

 

;

Также распишем каждый элемент матрицы:

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

Транспонирование матрицы

Матрица называется транспонированной матрицей , если

, где

ПРИМЕР 5. Транспонировать матрицу А:

Как видите первый столбец стал первой строкой, второй столбец второй строкой и так далее. Ничего сложного не вижу в этом и обычно у студентов проблем с транспонированием не возникает.

Свойства операций над матрицами

1. 
2. 
3.        ВНИМАТЕЛЬНО!
4. 
5. ; 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.     ВНИМАТЕЛЬНО!

Ну думаю для первой темы вам будет предостаточно, в принципе ничего сложного, ведь все операции над матрицами сводятся к простым арифметическим операциям, которые вы надеюсь умеете выполнять еще с начальной школы.